[논문 리뷰] On $L_p$-Solvability of Stochastic Integro-Differential Equations

István Gyöngy, Sizhou Wu|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 베셀 포텐셜 공간에서 해의 존재성, 유일성 및 정규성을 증명하여, 점프 디퓨전의 제카이 방정식을 포함한 일반적인 퇴화된 스토크래틱 적분미분방정식의 $L_p$-해결 가능성을 확립한다. 주요 기여는 모든 $p \geq 2$에 대해 보간을 통해 유효한 초기 및 외부 자료에 대한 $L_p$-추정을 제공하는 것으로, 시간 정규성은 본질적 상한 근사치로 기록된다.

ABSTRACT

A class of (possibly) degenerate stochastic integro-differential equations of parabolic type is considered, which includes the Zakai equation in nonlinear filtering for jump diffusions. Existence and uniqueness of the solutions are established in Bessel potential spaces.

연구 동기 및 목표

• 퇴화된 파라볼릭 유형의 광범위한 스토크래틱 적분미분방정식의 일반해 존재성과 유일성을 확립하기.
• 모든 $p \geq 2$ 및 $s \in [0,m]$에 대해 베셀 포텐셜 공간 $H^s_p$에서 해에 대한 $L_p$-추정을 유도하기.
• 점프 디퓨전 및 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 방정식, 특히 비선형 필터링에서의 제카이 방정식까지의 해법 이론을 확장하기.
• 시간과 공간 정규성의 특성을 본질적 상한 추정을 통해 기술하기.
• 초기 및 외부 자료에서 해로의 사전 연산자 구축을 통해 $L_p$-기반 함수 공간에서 유계성과 연속성을 확보하고, 비정수 미분 지수로의 보간을 가능하게 하기.

제안 방법

• 리프시에 노이즈를 포함한 점프 디퓨전에 대한 이토의 공식을 사용하여 크릴로프의 결과를 일반화하기.
• 에너지 추정과 마틴갈 불등식을 통해 $p = 2^k$, $k \in \mathbb{N}$에 대해 소볼레프 공간 $W^n_p$에서 사전 추정을 구축하기.
• 원래 방정식을 비퇴화적이고 미분가능하며 컴팩트 지지가 있는 문제로 근사하고, $L_p$-공간에서 약한 극한으로 이행하기.
• 실 보간 이론을 적용하여 사전 추정을 $p = 2^k$에서 모든 $p \geq 2$로 확장하기.
• 함수의 $[0,T]$에서의 본질적 상한이 $r \to \infty$일 때의 $L_r$-노름의 극한임을 이용하여 시간 정규성 추정을 도출하기.
• 자료의 국소화를 위해 $\chi_n(x) = \chi(x/n)$ 형태의 컷오프 함수를 도입하고, $L_p$-노름에서의 근사해 수렴성을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퇴화된 파라볼릭 유형의 스토크래틱 적분미분방정식이 $L_p$-공간에서 유일한 일반해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 보간을 통해 $p = 2^k$에서부터 모든 $p \geq 2$로 해에 대한 $L_p$-추정을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 베셀 포텐셜 공간 $H^s_p$에서의 해의 정확한 시간적 및 공간적 정규성은 무엇인가?
• RQ4 초기 및 외부 자료에서 해로의 사전 연산자가 $L_p$-노름 기반 공간에서 어떻게 행동하는가? (유계성 및 연속성 측면에서)
• RQ5 해의 노름이 시간에 대해 본질적 상한으로서 추정될 수 있는가? 그 추정은 초기 자료 및 외부 자료의 노름으로 어떻게 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p \geq 2$, $r > 1$, $m \in \mathbb{N}_0$에 대해, 초기값 문제 (1.1)–(1.2)는 공간 $\mathbb{U}^m_{r,p}$에서 유일한 일반해 $u$를 갖는다.
• 해는 모든 $s \in [0,m]$에 대해 사전 추정식 $\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$를 만족한다.
• 해 연산자 $\mathbb{S}$는 $\Psi^m_p \times \mathbb{H}^m_p \times \mathbb{H}^{m+1}_p(l_2) \times \mathbb{H}^{m+i}_p,\mathcal{L}_{p,2}$에서 $\mathbb{U}^m_{r,p}$로의 연속적이고 유계인 연산자이며, 그 노름은 $d, p, m, T, K, K_\xi, K_\eta$에 의존한다.
• 비정수 $s \in (0,m)$에 대해, 해는 $H^s_p$-값을 갖는 과정로서 강한 카드라그 성질을 갖는다. 이는 실 보간과 정리 4.1(v)의 보간 부등식을 통해 증명된다.
• 시간에 대한 본질적 상한 추정은 $r \to \infty$일 때의 $L_r$-노름의 극한을 취하여 도출되며, 결과적으로 $\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$를 얻는다.
• 레마 3.10에 의해 $p \in (0,p)$에 대해서도 성립하며, 이는 추정을 모든 $p > 0$로 확장한다.