[논문 리뷰] On L-spaces and left-orderable fundamental groups

Steven Boyer, Cameron McA. Gordon외 1명|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|2011. 07. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 여러 큰 클래스에 대해 L-공간과 비좌측순서 가능 fundamental group을 갖는 3-다양체 사이의 대응관계를 설정한다. 이 클래스에는 비하이퍼볼릭 기하 3-다양체와 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버가 포함된다. 이들 다양체에 대해 L-공간임이 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않음과 동치임을 증명하며, 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버의 fundamental group이 좌측순서 가능함이 그 링크가 두 개 이상의 성분을 갖는 자명한 링크일 때에만 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

Examples suggest that there is a correspondence between L-spaces and 3-manifolds whose fundamental groups cannot be left-ordered. In this paper we establish the equivalence of these conditions for several large classes of such manifolds. In particular, we prove that they are equivalent for any closed, connected, orientable, geometric 3-manifold that is non-hyperbolic, a family which includes all closed, connected, orientable Seifert fibred spaces. We also show that they are equivalent for the 2-fold branched covers of non-split alternating links. To do this we prove that the fundamental group of the 2-fold branched cover of an alternating link is left-orderable if and only if it is a trivial link with two or more components. We also show that this places strong restrictions on the representations of the fundamental group of an alternating knot complement with values in Homeo_+(S^1).

연구 동기 및 목표

• L-공간과 3-다양체 fundamental group의 좌측순서 가능성 간의 관계를 조사한다.
• 유리수 호모로지 3-구가 L-공간임과 그 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않음이 동치임이라는 추측을 검증한다.
• 비하이퍼볼릭 기하 3-다양체와 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버를 포함한 큰 클래스의 3-다양체에 대해 이러한 동치성을 확립한다.
• Knot group fundamental group의 Homeo+(S¹)로의 표현을 분석하고, 좌측순서 가능성에 대한 영향을 고찰한다.

제안 방법

• 닫힘, 연결, 양측성인 세이페르 피브리케이션 3-다양체에 대해, 다양체가 L-공간임이 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않음과 동치임을 증명한다.
• Boyer-Rolfsen-Wiest 및 Lisca-Stipsicz의 결과를 활용하여 세이페르 피브리케이션 케이스를 확립한다.
• 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버를 분석하여, 그 fundamental group이 좌측순서 가능함이 링크가 두 개 이상의 성분을 갖는 자명한 링크일 때에만 성립함을 보인다.
• 표현 이론을 활용: knot group에서 Homeo+(S¹)로의 호모모르피즘을 분석하고, ρ(μ²)=1 조건을 만족시키며, 이러한 표현이 ℤ/2로 인해 인수화됨을 보인다.
• Euler 클래스의 소멸과 Homeo+(S¹)의 전지수 커버로의 내림을 이용하여, 그룹이 좌측순서 가능하지 않으면서도 올림이 자명해짐을 보인다.
• 공면성 있는 타우트 필로우이션과 좌측순서 가능 finite index 부분군 간의 관계에 관한 결과를 활용하여, 더 넓은 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L-공간은 fundamental group의 좌측순서 가능성에 의해 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 어떤 3-다양체 클래스에서 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않음이 L-공간임과 동치가 되는가?
• RQ3 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버의 fundamental group의 구조는 어떠한가?
• RQ4 Knot group의 Homeo+(S¹)로의 표현은 fundamental group의 좌측순서 가능성에 어떤 제약을 가하는가?

주요 결과

• 모든 닫힘, 연결, 양측성인 비하이퍼볼릭 기하 3-다양체에 대해, 다양체가 L-공간임이 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않음과 동치이다.
• 비분할 대칭 링크의 2중 브랑치드 커버의 fundamental group은 그 링크가 두 개 이상의 성분을 갖는 자명한 링크일 때에만 좌측순서 가능하다.
• 3-다양체의 fundamental group이 좌측순서 가능하지 않다면, knot group에서 Homeo+(S¹)로의 임의의 호모모르피즘 ρ(μ²)=1을 만족시키는 경우 이미지의 차수는 2로 나누어진다.
• 이러한 표현의 Euler 클래스는 0이 되며, 이는 Homeo+(S¹)의 전지수 커버로의 내림이 가능함을 의미한다. 이 경우 그룹이 좌측순서 가능하지 않으면서도 올림이 자명해진다.
• 대칭 링크에 대해선 이러한 표현은 호모로지로 인수화되며, 이미지는 고리의 이미지로 생성되며, 이는 차수 2로 나누어진다.
• 2중 브랑치드 커버의 추적 필드에 실수 임베딩이 존재하면, 표현은 PSL₂(ℝ)로 코어지게 되지만, 이는 위의 제약 조건에 의해 배제되며, 따라서 표현은 유한함을 시사한다.