[논문 리뷰] On Laplacian like energy of trees

Aleksandar Ilić, Djordje Krtinic외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 24.

Graph theory and applications참고 문헌 26인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 나무의 라플라시안 유사 에너지(Laplacian-like energy, LEL)에 관한 이전 연구에서 잘못된 증명을 수정하며, $k=1,\ldots,n-1$에 대해 라플라시안 계수 $c_k$에 대해 LEL가 엄격히 증가함을 입증한다. 저자들은 역자기안 행렬과 연속성 논증을 사용한 간단한 증명을 제공하여, 모든 $k$에 대해 $c_k(G) \leq c_k(H)$이면 $LEL(G) \leq LEL(H)$임을 보이며, $c_k$ 중 어느 하나라도 $G$에서 엄격히 작을 경우 엄격한 부등식이 성립함을 보인다. 이 결과는 이분 그래프의 경우 인cidenc 에너지 등가성에 의해 일반화된다.

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected $n$-vertex graph with the characteristic polynomial of its Laplacian matrix $L(G)$, $\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$. Laplacian--like energy of a graph is newly proposed graph invariant, defined as the sum of square roots of Laplacian eigenvalues. For bipartite graphs, the Laplacian--like energy coincides with the recently defined incidence energy $IE (G)$ of a graph. In [D. Stevanovi\' c, extit{Laplacian--like energy of trees}, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 61 (2009), 407--417.] the author introduced a partial ordering of graphs based on Laplacian coefficients. We point out that original proof was incorrect and illustrate the error on the example using Laplacian Estrada index. Furthermore, we found the inverse of Jacobian matrix with elements representing derivatives of symmetric polynomials of order $n$, and provide a corrected elementary proof of the fact: Let $G$ and $H$ be two $n$-vertex graphs; if for Laplacian coefficients holds $c_k (G) \leqslant c_k (H)$ for $k = 1, 2, ..., n - 1$, then $LEL (G) \leqslant LEL (H)$. In addition, we generalize this theorem and provide a necessary condition for functions that satisfy partial ordering based on Laplacian coefficients.

연구 동기 및 목표

• 라플라시안 계수와 라플라시안 유사 에너지(LEL)를 연결하는 정리의 원래 증명에서 오류를 식별하고 수정하는 것.
• 라플라시안 계수 $c_k$에 대해 $k=1,\ldots,n-1$에 대해 LEL가 엄격히 증가함을 보장하는 엄밀하고 간단한 증명을 수립하는 것.
• 라플라시안 계수에 기반한 부분 순서에 따라 정의된 함수로 이 순서 결과를 일반화하는 것.
• 서로 다른 고유값을 가진 그래프에서의 결과를 반복 고유값이 있는 경우를 포함하는 정의역의 폐포로 확장하여 연속성에 의해 일반화하는 것.

제안 방법

• 그래프의 비영인 라플라시안 고유값의 제곱근의 합으로 라플라시안 유사 에너지(LEL)를 정의한다.
• 비에타의 공식을 사용하여 라플라시안 계수 $c_k$를 고유값 $\mu_i$의 기본 대칭 다항식으로 표현한다.
• 고유값에서 계수로의 변환에 대한 자카비안 행렬을 계산하고, 그 역행렬을 도출하여 LEL이 $c_k$에 대해 미분하는 데 필요한 편도함수를 분석한다.
• 사슬의 법칙을 적용하여 $\partial LEL / \partial c_k$를 $1/(2\sqrt{\mu_i})$와 $\partial \mu_i / \partial c_k$의 도함수를 포함하는 합으로 표현하며, 다항식의 근 도함수를 활용한다.
• 롤의 정리와 $f(x) = x^{n-k-3/2}$의 고차 도함수 성질을 이용하여 $\partial LEL / \partial c_k$의 부호를 결정하여, 이 값이 양수임을 입증한다.
• 정의역의 폐포로의 확장을 연속성에 의해 적용하여, 고유값이 서로 다를 때뿐만 아니라 반복 고유값이 존재하는 경우에도 부등식이 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n$-정점 그래프에 대해 $c_k(G) \leq c_k(H)$이면 $LEL(G) \leq LEL(H)$임을 보여주는 원래 증명이 $n$에 관계없이 올바른가?
• RQ2 라플라시안 계수 $c_k$에 대해 LEL의 단조성(증가성)을 입증하기 위한 정확한 분석적 방법은 무엇인가?
• RQ3 라플라시안 계수에 기반한 부분 순서를 다른 고유값의 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 서로 다른 고유값을 가진 그래프에서의 결과를 반복 고유값이 있는 그래프로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 고유값이 서로 다를 때가 아니면 라플라시안 유사 에너지가 각 $c_k$에 대해 여전히 엄격히 증가하는가?

주요 결과

• 라플라시안 Estrada 지수를 사용한 반례를 통해, 라플라시안 계수와 LEL를 연결하는 정리의 원래 증명이 잘못되었음을 입증하였다.
• 수정된 간단한 증명을 제시하여, 모든 $k=1,\ldots,n-1$에 대해 $\partial LEL / \partial c_k > 0$임을 보였으며, 이는 LEL가 각 계수에 대해 엄격히 증가함을 의미한다.
• 모든 $n$-정점 그래프에 대해 성립한다: $c_k(G) \leq c_k(H)$이면 모든 $k=1,\ldots,n-1$에 대해 $LEL(G) \leq LEL(H)$이며, $G$에서 어떤 $c_k$가 엄격히 작을 경우 엄격한 부등식이 성립한다.
• 서로 다른 고유값의 정의역의 폐포로의 확장을 연속성에 의해 적용하여, 고유값이 반복될 경우에도 부등식이 성립함을 보였다.
• 이 방법은 라플라시안 계수에 기반한 부분 순서를 만족하는 함수를 분석하는 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 이분 그래프의 경우 LEL는 인cidenc 에너지 $IE(G)$와 일치하며, 이 순서 결과는 $IE(G)$에도 직접 적용된다.