[논문 리뷰] On lattice models of gapped phases with fusion category symmetries

Kansei Inamura|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 25.

Topological Materials and Phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원의 반단순 호프 대수 H에 대한 H-단순 왼쪽 H-코모듈 대수를 기반으로 한 상태합 TQFT를 사용하여, 비이상적인 융합 카테고리 대칭을 가진 1+1차원 고체상에 대해 위상적 양자장이론(TQFTs)과 교환형 프로젝터 해밀토니안을 구성한다. 핵심 결과는 융합 카테고리 대칭의 경계 조건에 대한 작용이 융합 카테고리 위의 모듈러 카테고리들을 통해 실현되며, 이는 고체상의 격자 실현을 가능하게 하고 SPT 상에서의 경계 모드를 연구할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We construct topological quantum field theories (TQFTs) and commuting projector Hamiltonians for any 1+1d gapped phases with non-anomalous fusion category symmetries, i.e. finite symmetries that admit SPT phases. The construction is based on two-dimensional state sum TQFT whose input datum is an $H$-simple left $H$-comodule algebra, where $H$ is a finite dimensional semisimple Hopf algebra. We show that the actions of fusion category symmetries $\mathcal{C}$ on the boundary conditions of these state sum TQFTs are represented by module categories over $\mathcal{C}$. This agrees with the classification of gapped phases with symmetry $\mathcal{C}$. We also find that the commuting projector Hamiltonians for these state sum TQFTs have fusion category symmetries at the level of the lattice models and hence provide lattice realizations of gapped phases with fusion category symmetries. As an application, we discuss the edge modes of SPT phases based on these commuting projector Hamiltonians. Finally, we mention that we can extend the construction of topological field theories to the case of anomalous fusion category symmetries by replacing a semisimple Hopf algebra with a semisimple pseudo-unitary connected weak Hopf algebra.

연구 동기 및 목표

• 비이상적인 융합 카테고리 대칭을 가진 1+1차원 고체상에 대해 위상적 양자장이론(TQFTs)과 교환형 프로젝터 해밀토니안을 체계적으로 구성하는 것.
• 기존의 격자 모델에 대한 문헌에서의 격차를 메우기 위해 융합 카테고리 대칭을 가진 고체상의 격자 실현을 확립하는 것.
• 융합 카테고리 대칭의 경계 조건에 대한 작용이 융합 카테고리 위의 모듈러 카테고리에 의해 표현됨을 보여주어, 이러한 대칭을 가진 고체상의 분류와 일치시키는 것.
• 구축된 교환형 프로젝터 해밀토니안을 사용하여 SPT 상의 경계 모드를 분석하는 것.
• 반단순 호프 대수를 반단소 허위 유니터리 연결 약한 호프 대수로 대체하여 비이상적인 융합 카테고리 대칭으로의 확장을 수행하는 것.

제안 방법

• 구성은 H가 유한 차원 반단소 호프 대수일 때 H-단순 왼쪽 H-코모듈 대수를 입력으로 사용하는 상태합 TQFT를 사용한다.
• 논문은 텐서 함자 F: C → C′을 통한 TQFT의 역상 작동을 도입하여, 군 준동형에 의한 SPT 상의 역상 작동을 일반화한다.
• 상태합 TQFT의 경계 조건이 융합 카테고리 C 위의 모듈러 카테고리의 구조를 지닌다는 것이 입증되며, 이는 대칭 작용을 명시적으로 실현한다.
• 교환형 프로젝터 해밀토니안은 상태합 TQFT에서 유도되며, 격자 수준에서 융합 카테고리 대칭을 그대로 유지한다.
• 반단소 호프 대수 대신 반단소 허위 유니터리 연결 약한 호프 대수를 사용하여, 비이상적인 대칭으로의 프레임워크 확장을 수행한다.
• TQFT의 인터페이스와 접합부는 이중모듈러와 관련된 선형 사상으로 모델링되며, 결함 구성에 대해 벡터 공간과 선형 사상의 명시적 할당이 이루어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비이상적인 융합 카테고리 대칭을 가진 1+1차원 고체상에 대해 TQFT와 교환형 프로젝터 해밀토니안을 체계적으로 구성할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 TQFT 프레임워크 내에서 융합 카테고리 대칭의 경계 조건에 대한 작용은 수학적으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 상태합 TQFT 구성은 융합 카테고리 대칭을 가진 서로 다른 TQFT의 인터페이스와 접합부를 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ4 모듈러 카테고리의 역할은 융합 카테고리 대칭을 가진 TQFT의 경계 조건을 분류하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 약한 호프 대수를 사용하여 반단소 호프 대수 대체함으로써 비이상적인 융합 카테고리 대칭으로의 구성은 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 상태합 TQFT의 경계 조건에 대한 융합 카테고리 대칭의 작용은 융합 카테고리 위의 모듈러 카테고리들을 통해 실현되며, 이러한 대칭을 가진 고체상의 분류와 일치함을 확인한다.
• 상태합 TQFT에서 유도된 교환형 프로젝터 해밀토니안은 격자 수준에서 융합 카테고리 대칭을 나타내며, 고체상의 명시적 격자 실현을 제공한다.
• 구축된 해밀토니안을 사용하여 융합 카테고리 대칭을 가진 SPT 상의 경계 모드를 분석하여 그 위상적 성질을 밝혀냈다.
• 텐서 함자에 의한 역상 구성은 기저 TQFT로부터 비이상적인 융합 카테고리 대칭을 가진 TQFT를 체계적으로 생성할 수 있도록 한다.
• 반단소 호프 대수를 반단소 허위 유니터리 연결 약한 호프 대수로 대체함으로써, 비이상적인 경우를 초월한 비이상적인 융합 카테고리 대칭으로의 프레임워크 확장을 달성하였다.
• 상태합 TQFT에 인터페이스와 접합부를 포함시키기 위해, 결함 구성에 대해 벡터 공간과 선형 사상을 할당하였으며, 이중모듈러와 모듈러 사상이 위상적 자료를 코딩한다.