[논문 리뷰] On level and collision sets of some Feller processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 30.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전이 밀도 추정을 갖는 Feller 과정의 수준 집합과 충돌 집합의 하우스도르프 차원에 대해 상한과 하한을 확립한다. 시간 변화 과정과 잠재론적 방법을 사용하여 레비 과정의 결과를 Feller 과정으로 확장하며, 카토-클래스 조건과 기호 기반 분석을 도입하여, 일차원에서 영수준 집합의 차원이 충돌 집합의 차원과 같음을 증명한다. 이 두 차원은 모두 과정의 스케일링 지수에 의해 결정된다.

ABSTRACT

This paper is about lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the level and collision sets of a class of Feller processes. Our approach is motivated by analogous results for Lévy processes by Hawkes (for level sets), Taylor and Jain & Pruitt (for collision sets). Since Feller processes lack independent or stationary increments, the methods developed for Lévy processes cannot be used in a straightforward manner. Under the assumption that the Feller process possesses a transition probability density, which admits lower and upper bounds of a certain type, we derive sufficient conditions for regularity and non-polarity of points; together with suitable time changes this allows us to get upper and lower bounds for the Hausdorff dimension.

연구 동기 및 목표

• 전이 밀도 경계가 있는 Feller 과정에서 점의 정규성과 비극성에 대한 충분 조건을 도출하기 위해.
• 독립적 또는 정적 증가가 없는 Feller 과정으로 레비 과정의 차원 결과를 확장하기 위해.
• 시간 변화 과정을 사용하여 $d$-집합의 수준 집합에 대한 하우스도르프 차원에 대한 균일한 상한과 하한을 확립하기 위해.
• 일차원에서 두 개의 독립적인 Feller 과정의 충돌 집합의 하우스도르프 차원을 분석하기 위해.
• 일차원 재귀적 Feller 과정에서 영수준 집합과 충돌 집합의 정확한 차원을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 독립적인 증가 레비 과정에 의한 시간 변화를 통해 원래 Feller 과정을 스케일링 성질이 알려진 시간 변화 과정과 연결하기 위해.
• 전이 밀도에 대한 카토-클래스 조건을 적용하여 정규점과 극점의 특성화를 위해.
• 안정 보조정수와 복합 커널 유형의 밀도 경계를 포함하는 적분 추정을 통해 잠재 측도의 상한과 하한을 유도하기 위해.
• 대칭 $\beta$-안정 과정의 범위를 충돌 집합의 하우스도르프 차원을 표현하는 게이지로 사용하기 위해.
• 집합 $D$ 근처에서 시간 변화 과정의 행동을 기술하기 위해 인덱스 $\gamma_{\inf}$와 $\gamma_{\sup}$를 사용하기 위해.
• 우세 수렴 정리와 감마 적분 항등식을 사용하여 $T \to 0$일 때 적분의 점근적 행동을 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이 밀도 경계가 있는 Feller 과정에서 Borel 집합 $D$에 대해 점이 정규일 조건은 무엇인가?
• RQ2 독립 증가가 없는 Feller 과정에서 수준 집합의 하우스도르프 차원을 어떻게 경계할 수 있는가?
• RQ3 일차원 Feller 과정에서 영수준 집합의 정확한 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ4 영수준 집합의 차원과 두 개의 독립적인 과정 복사본의 충돌 집합의 차원 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 공통 과정 $(X^1, X^2)$의 극집합을 대칭 안정 과정의 극집합과 비교하여 충돌 집합 차원을 경계할 수 있는가?

주요 결과

• 일차원 재귀적 Feller 과정에서 영수준 집합 $\{s: X_s = 0\}$의 하우스도르프 차원은 $\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$와 같으며, 여기서 $\gamma_{\inf}$와 $\gamma_{\sup}$는 과정의 스케일링 지수이다.
• 충돌 집합 $A(\omega) = \{x: X^1_t = X^2_t = x \text{ for some } t > 0\}$의 하우스도르프 차원 역시 $\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$이며, 영수준 집합의 차원과 일치한다.
• 전이 밀도 $p_t(x,y)$에 대한 카토-클래스 조건을 사용하여 비극성 및 정규성에 대한 충분 조건가 도출되었다.
• 시간 변화 과정과 안정 보조정수를 포함하는 적분 추정을 통해 $d$-집합의 수준 집합에 대한 하우스도르프 차원에 대한 균일한 상한과 하한이 확립되었다.
• 카토-클래스 가정 하에 잠재 측도 $\int_0^T \int_D p_t^{(\gamma)}(x,y) \varpi(dy) dt$는 $\varpi\{y \in D: |x-y| \leq u\}$와 함수 $(q^*)^\gamma(1/u)$를 포함하는 항으로부터 아래로 경계된다.
• 감마 적분과 우세 수렴 정리를 사용한 점근적 분석에 의해, 일부 적분이 $T \to 0$일 때 소멸함을 보여주었으며, 이는 정규성 및 비극성 결과를 뒷받침한다.