[논문 리뷰] On lifting of biadjoints and lax algebras

Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 조건을 설정하여, 2-범주에서의 릿지(비가역) 구조로의 이행을 가능하게 하며, 이는 이전의 이중수학적 삼각형 정리의 일반화된 형태를 릿지 설정으로 확장한다. 만약 오른쪽 이중수학적 준수함수(2-범주로의)가 릿지 대수로의 이행을 갖는다면, 도메인이 충분한 가중치가 부여된 이중구성합(특히 릿지 코드센트 객체)을 갖는 한, 그 함수는 여전히 오른쪽 이중수학적 준수함수로 유지된다. 이는 2-모나드와 2차원 보편대수학에서 새로운 코herency 결과를 이끌어낸다.

ABSTRACT

By the biadjoint triangle theorem, given a pseudomonad $\mathcal{T} $ on a $2$-category $\mathfrak{B} $, if a right biadjoint $\mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ has a lifting to the pseudoalgebras $\mathfrak{A} o\mathsf{Ps} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $ then this lifting is also right biadjoint provided that $\mathfrak{A} $ has codescent objects. In this paper, we give general results on lifting of biadjoints. As a consequence, we get a extit{biadjoint triangle theorem} which, in particular, allows us to study triangles involving the $2$-category of lax algebras, proving analogues of the result described above. More precisely, we prove that, denoting by $\ell :\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} o\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg}_\ell $ the inclusion, if $R: \mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ is right biadjoint and has a lifting $J: \mathfrak{A} o \mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $, then $\ell\circ J$ is right biadjoint as well provided that $\mathfrak{A} $ has some needed weighted bicolimits. In order to prove such theorem, we study the descent objects and the lax descent objects. At the last section, we study direct consequences of our theorems in the context of the $2$-monadic approach to coherence. In particular, we give the construction of the left $2$-adjoint to the inclusion of the strict algebras into the lax algebras.

연구 동기 및 목표

• 릿지 대수의 맥락으로 이중수학적 삼각형 정리를 일반화하여, 이전의 준대수에 대한 결과를 확장한다.
• 오른쪽 이중수학적 준수함수(2-범주로의)가 릿지 대수의 2-범주로 이행될 때, 그 이중수학적 준수함수 성질을 유지하는 데 필요한 충분한 조건을 설정한다.
• 특히 2-모나드 코herency 맥락에서, 대수의 2-범주로의 포함관계에 대한 왼쪽 이중수학적 준수함수를 구성하기 위한 프레임워크를 제공한다.
• 가중치가 부여된 이중구성합—특히 릿지 코드센트 및 코드센트 객체—이 이중수학적 준수함수의 이행에 어떻게 기여하는지 연구한다.
• 결과를 적용하여 2-모나드와 준모나드에 대한 일반적인 코herency 정리를 도출하며, 고차원 범주론에서의 엄격 및 탄력 있는 대체 구조를 포함한다.

제안 방법

• 이중수학적 삼각형 정리를 릿지 대수로 일반화하기 위해, 준자연변환과 가중치가 부여된 이중구성합을 사용한다.
• 릿지 코드센트 객체와 코드센트 객체를 도입하고 분석하여, 이중수학적 준수함수의 이행을 위한 핵심 도구로 활용한다.
• 비가역 대수적 구조를 다루기 위해 준모나드의 형식 이론과 2차원 보편대수학을 적용한다.
• 준자연동치와 코herency 데이터를 사용하여, 이중수학적 준수함수의 이행 조건을 정의하고 검증한다.
• 결과를 2-모나드 기반의 코herency에 적용하며, 서로 다른 사상 유형을 갖는 대수의 범주 간 포함관계에 집중한다.
• 도표적 추론과 2-범주적 극한(예: 가중치가 부여된 이중구성합)을 사용하여, 이행이 이중수학적 준수함수 성질을 유지하는 조건을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오른쪽 이중수학적 준수함수(2-범주로의)가 릿지 대수의 2-범주로 이행될 때, 그 이중수학적 준수함수 성질이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 종류의 가중치가 부여된 이중구성합—특히 어떤 유형의 코드센트 객체—가 이러한 이행이 이중수학적 준수함수 성질을 유지하도록 보장하는가?
• RQ3 어떻게 이중수학적 삼각형 정리는 릿지 대수의 맥락으로 적응될 수 있으며, 그에 필요한 정확한 가정 조건은 무엇인가?
• RQ4 어떤 맥락에서 대수의 2-범주(예: 엄격, 준, 릿지) 간 포함관계가 왼쪽 이중수학적 준수함수를 갖는가, 그리고 그 기초 2-범주에 필요한 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ5 결과는 준모나드로 어떻게 일반화되며, 준모나드에 어떤 조건이 릿지 대수로의 포함관계에 대한 왼쪽 이중수학적 준수함수의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 오른쪽 이중수학적 준수함수 R: A → B가 A가 충분한 릿지 코드센트 객체를 갖는다면, 릿지 T-대수의 2-범주로의 준수함수 J: A → Lax-T-Alg로 이행되며, J는 여전히 오른쪽 이중수학적 준수함수로 유지된다.
• ℓ∘J가 오른쪽 이중수학적 준수함수일 조건은 A가 릿지 T-대수와 관련된 특정 다이어그램의 릿지 코드센트 객체를 갖는 것이다.
• T₁-Algs → Lax-T₁-Algℓ의 포함관계는 T₁-Algs가 릿지 코드센트 객체를 갖는다면 왼쪽 이중수학적 준수함수를 갖는다. 이는 2-모나드에 대한 코herency 결과를 일반화한다.
• 준모나드 T에 대해, Ps-T-Alg → Lax-T-Alg의 포함관계는 Ps-T-Alg가 릿지 코드센트 객체를 갖거나, 코드센트 객체를 갖는다면 왼쪽 이중수학적 준수함수를 갖는다.
• 만약 준모나드 T가 릿지 코드센트 객체를 보존한다면, Ps-T-Alg는 그 객체를 상속받으며, 이는 Lax-T-Alg로의 포함관계에 대한 왼쪽 이중수학적 준수함수 존재 조건을 충족한다.
• 결과는 2-범주적 대수의 포함관계에 대한 왼쪽 이중수학적 준수함수를 체계적으로 구성하는 방법을 제공하며, 2차원 보편대수학에서 일반적인 코herency 정리를 가능하게 한다.