[논문 리뷰] On linear hypersingular Boltzmann transport equation and its variational formulation

Jouko Tervo|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 29.

Numerical methods in engineering참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전하를 띤 입자 운반에서 발생하는 선형 초특이성 보르츠만 운반 방정식(BTE)에 대해 엄밀한 변분 형식을 제시한다. 특히 미올러형 산산에서 미분 단면적에 초특이성이 존재할 경우를 다루며, 정확한 BTE는 제1차 에너지 도함수와 하다르드 유한부분 적분 연산자, 제2차 각도 도함수를 포함하고 있음을 보여주며, 변분 방법을 통해 CSDA-Fokker-Planck 유사 연산자를 유도함으로써 리온스-라크스-밀그램 이론을 통해 존재성 증명이 가능해진다.

ABSTRACT

For charged particle transport the linear Boltzmann transport equation (BTE) turns out to be a partial hyper-singular integro-differential operator. This is due to the fact that the related differential cross-sections $σ(x,ω',ω,E',E)$ may have hyper-singularities. In these cases the energy integral appearing in the collision terms must be interpreted as the Hadamard finite part integral leading to hyper-singular integral operators. The article considers a refined expression for the exact transport operator and related variational formulations of the inflow initial boundary value problem for one particle equation containing hyper-singularities. We find that the exact BTE contains the first-order partial derivatives with respect to energy combined by partial Hadamard (first-order) singular integral operators. In addition, it contains the second-order partial derivatives with respect to angle and some mixed terms. The analysis will be carried out only for the so called Møller-type interaction (scattering) which is a kind of prototype of hyper-singular interactions. The generalizations to other type of collisions, such as to Bremsstrahlung, go analogously. We also expose a weak form (the variational formulation) of the hyper-singular transport problem. Another variant variational formulation decreases the level of singularities in the integration (appearing in the due bilinear form) containing only singularities of order one that is, singularities like ${1\over{E'-E}}dE' dE$. The variational formulation is an essential step in order to show the existence of generalized solutions e.g. by Lions-Lax-Milgram Theorem based methods (proceedings for solution spaces and existence theory are omitted here). The corresponding approximative transport operator is deduced. It turns out to be a CSDA-Fokker-Planck type operator.

연구 동기 및 목표

• 미올러 산산에서처럼, 산산 단면적이 초특이성을 포함할 경우 선형 보어츠만 운반 연산자의 정확한 구조를 분석하는 것.
• 근사 없이 초특이성 BTE의 유입 초기경계값 문제에 대한 변분 형식을 개발하는 것.
• 이차형 형식의 특이성 수준을 낮춰 갈레르킨 유한요소 방법을 통한 수치적 처리가 가능하도록 하는 것.
• 변분 방법과 리온스-라크스-밀그램 정리를 이용해 일반해의 존재성에 대한 이론적 기초를 마련하는 것.
• 수치 계산에 적합한 CSDA-Fokker-Planck 모델의 구조를 갖는 근사 운반 연산자를 도출하는 것.

제안 방법

• 논문은 초특이성이 산산 단면적에 존재할 경우, 에너지에 대한 제1차 편도함수와 하다르드 유한부분 적분 연산자가 결합된다는 점을 규명한다.
• 정확한 운반 연산자는 제2차 각도 편도함수와 혼합 도함수항을 포함하는 부분적분방정식으로 표현되며, 충돌 적분은 하다르드 유한부분 적분으로 해석된다.
• 적절한 소보레브-스로보데브스키 공간에 속하는 시험 함수를 사용하여 약한 형태(변분 형식)를 유도하며, 이로 인해 이차형 형식의 특이성 수준이 1차로 낮아진다.
• 변분 형식이 리온스-라크스-밀그램 정리에 의해 적용 가능함을 보여주며, 일반해 존재성 증명이 가능해진다.
• 근사 운반 연산자는 테일러 전개와 주입 입자의 각도 근사화를 통해 CSDA-Fokker-Planck 유형의 연산자로 도출된다.
• 분석은 미올러형 산산에 국한되지만, 유사한 방법을 통해 브레머스트랄링과 같은 다른 상호작용으로 일반화 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산산 단면적에 초특이성이 존재할 경우 선형 보어츠만 운반 방정식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 충돌 적분이 하다르드 유한부분 적분으로 해석될 경우 정확한 운반 연산자의 정밀한 형태는 무엇인가?
• RQ3 특이성 수준을 낮추고 존재성 증명이 가능한 초특이성 BTE에 대한 변분 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ4 정확한 초특이성 연산자로부터 도출된 근사 운반 연산자의 구조는 어떠한가?
• RQ5 변분 형식은 갈레르킨 유한요소 방법과 같은 수치적 해법 전략을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 미올러 산산에 대한 정확한 선형 BTE는 에너지에 대한 제1차 편도함수와 하다르드 유한부분 적분 연산자를 포함하며, 이는 가짜-미분형 항을 형성한다.
• 운반 연산자는 각도 변수에 대한 제2차 편도함수와 혼합 도함수항도 포함하며, 각도 부분은 푸커-플랭크 연산자와 유사하다.
• 변분 형식은 이차형 형식의 특이성 수준을 1차로 낮추며, 특히 $ \frac{1}{E' - E} dE' dE $ 형태로 표현되어 수치적 안정성과 수렴 분석이 가능해진다.
• 유도된 근사 운반 연산자는 CSDA-Fokker-Planck 유형이며, 방사선 치료 선량 계산에서 일반적으로 사용되는 근사와 일치한다.
• 변분 형식은 리온스-라크스-밀그램 정리를 통해 초특이성 연산자에 대해서도 일반해 존재성 증명을 위한 엄밀한 수학적 경로를 제공한다.
• 분석은 유입 경계값 문제의 경계 다중성이 변수임을 확인하며, 이는 잘 정의된 문제 해결을 어렵게 하지만, 변분 프레임워크는 이러한 경우를 다룰 수 있는 실현 가능한 길을 제공한다.