[논문 리뷰] On linear operators with p-nuclear adjoints

O. I. Reinov|ArXiv.org|2001. 07. 16.

Advanced Banach Space Theory인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $p$-핵심적 수반 연산자가 $p$-핵심적임을 보장하는 조건을 확립한다. 즉, $X^*$ 또는 $Y^{***}$가 근사성 조건을 만족하면, $T^* \in N^p(X^*,Y^*)$이면 $T \in N^p(X,Y)$임을 증명한다. 또한 각 $r \neq 2$에 대해, $W^{**}$에 기저를 지닌 바나흐 공간 $W$를 구성하여, $p$-핵심적 수반을 가진 연산자 $T: W^{**} \to W$이지만 $N^r(W^{**},W)$에 속하지 않는 예를 제시함으로써 근사성 조건이 필수적임을 보여준다.

ABSTRACT

If $p\in [1,+\infty]$ and $T$ is a linear operator with $p$-nuclear adjoint from a Banach space $ X$ to a Banach space $Y$ then if one of the spaces $X^*$ or $Y^{***}$ has the approximation property, then $T$ belongs to the ideal $N^p$ of operators which can be factored through diagonal oparators $l_{p'} o l_1.$ On the other hand, there is a Banach space $W$ such that $W^{**}$ has a basis and such that for each $p\in [1,+\infty], p eq 2,$ there exists an operator $T: W^{**} o W$ with $p$-nuclear adjoint that is not in the ideal $N^p,$ as an operator from $W^{**}$ to $ W.$

연구 동기 및 목표

• 수반 연산자가 $p$-핵심적일 때, 그 연산자가 $p$-핵심적 연산자의 이상 $N^p$에 속하기 위한 충분한 조건을 규명하는 것.
• 대각 연산자를 통한 연산자의 인수분해에서 근사성 조건의 역할을 조사하는 것.
• 근사성 가정 없이 $p$-핵심적 수반의 존재가 $p$-핵심적임을 보장하지 못함을 보여주는 반례를 구성하는 것.
• 수반 연산자와 $N^p$-연산자 사이의 이중성에서 근사성 조건이 얼마나 정확한지 보여주는 것.

제안 방법

• 트레이스 이중성에 의해 $N^p(X,Y)$와 공간 $\Pi_{p'}^d(Y,X^{**})$ 사이의 이중성 관계를 사용한다.
• 만일 $X^*$ 또는 $Y$가 근사성 조건을 만족하면, $X^* \widehat{\otimes}^p Y \cong N^p(X,Y)$라는 표준적 동형을 적용한다.
• 비영인 트레이스를 가진 $z = \sum e_k' \otimes e_k$를 $E^* \widehat{\otimes}^r E$ 내에서 사용하여 연산자의 텐서 표현을 활용한다. 이 경우 연관된 연산자는 0이지만 트레이스는 0이 아니다.
• $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$를 $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$로 올리되, 몫사상 $\varphi: W^{**} \to E$가 존재하여 $\ker \varphi = W$이고 $\varphi \circ \alpha = z$가 되도록 한다.
• $\alpha \notin N^r(E,W)$이면 $\alpha \circ \varphi \notin N^r(W^{**},W)$이지만, $\alpha \circ \varphi \in N^r(W^{**},W^{**})$임을 이용하여 반례를 구성한다.
• 반사적이고 분리 가능한 바나흐 공간 $E$가 존재하여, $r \neq 2$일 때 표준 사상 $E^* \widehat{\otimes}^r E \to N^r(E,E)$가 단사가 아님을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 수반 연산자 $T^*$의 $p$-핵심성은 $T$의 $p$-핵심성을 이끌어내는가?
• RQ2 $W^{**}$에 기저를 지닌 바나흐 공간 $W$를 구성하여, $T: W^{**} \to W$가 $p$-핵심적 수반을 가짐에도 불구하고 $T \notin N^p(W^{**},W)$가 되는 경우를 찾을 수 있는가? ($p \neq 2$일 때)
• RQ3 $T^* \in N^p(X^*,Y^*) \Rightarrow T \in N^p(X,Y)$의 함의관계가 성립하기 위해 $X^*$ 또는 $Y^{***}$의 근사성 조건이 필수적인가?
• RQ4 비단사적 표준 사상 $X^* \widehat{\otimes}^p Y \to N^p(X,Y)$의 맥락에서 텐서 노름과 트레이스 이중성은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 $W^{***}$ 내의 여과된 부분공간이 $l_{p'} \to l_1$를 통해 인수분해되지 않는 연산자를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 만일 $X^*$ 또는 $Y^{***}$가 근사성 조건을 만족하면, $T^* \in N^p(X^*,Y^*)$이면 $T \in N^p(X,Y)$임을 보여, $T$의 $p$-핵심성에 대한 충분조건를 확립한다.
• 각 $r \in [1,\infty]$, $r \neq 2$에 대해, 분리 가능한 바나흐 공간 $W$가 존재하여 $W^{**}$에 기저를 지니며, 연산자 $T: W^{**} \to W$가 $T^* \in N^r(W^{**},W^*)$이지만 $T \notin N^r(W^{**},W)$임을 보여, 근사성 가정이 필수적임을 입증한다.
• 반례는 반사적이고 분리 가능한 공간 $E$에서 존재하는 텐서 $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$에 기반한다. 이 경우 $\operatorname{trace}(U \circ z) = 1$이지만 $\widetilde{z} = 0$이다. 이러한 텐서는 $r \neq 2$일 때 존재한다.
• 구성은 몫사상 $\varphi: W^{**} \to E$ (여기서 $\ker \varphi = W$)와 $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$를 사용하여 $\varphi \circ \alpha = z$가 되도록 한다. 이때 $\alpha \notin N^r(E,W)$임을 보장한다.
• 연산자 $T = \alpha \circ \varphi$는 $T \in N^r(W^{**},W^{**})$이지만 $T \notin N^r(W^{**},W)$임을 만족하여, 근사성 조건 없이 함의관계가 성립하지 않음을 증명한다.
• 이 결과는 정리 1에서 제시된 근사성 조건이 정확함을 보여주며, 이러한 조건이 실패할 경우 반례가 존재함을 입증한다.