[논문 리뷰] On local coefficients for non-generic representations of some classical groups

Solomon Friedberg, David Theo Goldberg|arXiv (Cornell University)|1996. 02. 13.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 현지체 위의 분할 직교군 및 준분할 유니터리 군의 비일반 표현을 연구하며, 월리스 모델 대신 유일한 일반화된 베틀 모델을 지닌다. 이는 유도 과정에서 베틀 함수의 해석적 성질을 증명하고, 최소 베틀 모델에 대해 로디에르의 정리의 유사판을 증명하며, 베틀 함수를 지닌 초초급 표현과 그 유도 성분에 대한 국소 계수를 정의함으로써, 고전군 내 비일반 자동형 함수 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

This paper is concerned with representations of split orthogonal and quasi-split unitary groups over a nonarchimedean local field which are not generic, but which support a unique model of a different kind, the generalized Bessel model. The properties of the Bessel models under induction are studied, and an analogue of Rodier's theorem concerning the induction of Whittaker models is proved for Bessel models which are minimal in a suitable sense. The holomorphicity in the induction parameter of the Bessel functional is established. Last, local coefficients are defined for each irreducible supercuspidal representation which carries a Bessel functional and also for a certain component of each representation parabolically induced from such a supercuspidal.

연구 동기 및 목표

• 고전군 내 비일반 표현으로까지 국소 계수 이론을 비일반 표현까지 확장한다.
• 편평한 유도 과정에서 일반화된 베틀 모델의 행동을 연구한다.
• 유도 매개수에서 베틀 함수의 해석성을 확립한다.
• 베틀 함수를 지닌 기약 초초급 표현에 대해 국소 계수를 정의한다.
• 월리스 모델에 대한 로디에르의 정리를 최소 베틀 모델의 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 유일한 일반화된 베틀 모델을 지닌 기약 초초급 표현의 구조를 분석한다.
• 편평한 유도를 적용하여 초초급 표현에서 베틀 함수를 지닌 표현을 구성한다.
• 표현 이론의 해석적 기법을 사용하여 유도 매개수에서 베틀 함수의 해석성을 증명한다.
• 월리스 모델의 기준과 유사한 최소 베틀 모델의 최소성 기준을 확립한다.
• 유도된 설정에서 베틀 함수의 함수방정식을 통해 국소 계수를 정의한다.
• 베틀 모델의 유일성을 이용하여 계수 체계의 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전군에서 편평한 유도 과정에서 일반화된 베틀 모델은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 유도 매개수에서 베틀 함수의 해석성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 월리스 모델에 대한 로디에르의 정리의 유사판을 최소 베틀 모델에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ4 베틀 함수를 지닌 비일반 표현에 대해 국소 계수를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ5 편평한 유도 표현의 성분 중 베틀 함수를 지닌 것은 어떤 구조를 지닌다?

주요 결과

• 편평한 유도 표현과 관련된 베틀 함수는 유도 매개수에서 해석적이다.
• 최소 베틀 모델에 대해 로디에르의 정리의 유사판이 성립하며, 모델의 유일성에 의해 기약성 조건이 특징지워진다.
• 베틀 함수를 지닌 각 기약 초초급 표현에 대해 국소 계수가 잘 정의되어 있다.
• 이러한 초초급 표현에서 유도된 각 표현의 특정 성분에 대해서도 국소 계수가 정의되어 있다.
• 일반화된 베틀 모델은 비일반 표현에 대해 유일한 모델을 제공하며, 월리스 모델의 역할을 대체한다.
• 베틀 모델 프레임워크를 통해 국소 계수 이론이 비일반 표현까지 확장되어 비일반 표현까지 포함된다.