[논문 리뷰] On local scale invariance and the questionable theoretical basis of the conformal transformations' issue

Israel Quirós, Roberto De Arcia|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 06.

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스칼라-텐서 중력 이론에서 등각 프레임 등가성의 이론적 기초를 도전하며, Brans-Dicke 및 유사 이론들이 물질과 결합할 경우 이상이 발생하므로 진정으로 등각 불변성이 아니라는 점을 보여준다. 진정한 등각 불변성을 지닌 것은 유일하게 척도 단위가 점별로 변하는 웨일-통합 시공간 뿐이며, 이는 물리적으로 등가하지만 서로 다른 우주와 웜홀 해를 암시하여 기존 이론에서 오랫동안 지속된 역설을 해결한다.

ABSTRACT

Here we follow the mainstream of thinking about physical equivalence of different representations of a theory, regarded as the consequence of invariance of the laws of physics -- represented by an action principle and the derived motion equations -- under given transformations; be it coordinate, gauge or conformal transformations. Accordingly the conformal transformations' issue is discussed by invoking the assumed invariance of the laws of physics -- in particular the laws of gravity -- under conformal transformations of the metric. It is shown that Brans-Dicke and scalar-tensor theories are not well-suited to address physical equivalence of the conformal frames since the corresponding laws of gravity are not invariant under the conformal transformations or Weyl rescalings. The search for conformal symmetry leads us to explore the physical consequences of Weyl-invariant theories of gravity, that represent a natural arena where to discuss on physical equivalence of the conformally related representations. We show that conformal invariance of the action of a (supposedly conformal invariant) theory and of the derived motion equations is not enough to ensure actual Weyl invariance. It is required, also, that the underlying geometrical structure of the background spacetime be, at least, Weyl-integrable. Otherwise, if assume (as usual) spacetimes of (pseudo)Riemannian geometrical structure, the resulting -- apparently conformal invariant -- theory is anomalous in that, only massless matter fields can be consistently coupled. Gauge freedom, a distinctive feature of actually Weyl-invariant theories of gravity, leads to very unusual consequences.

연구 동기 및 목표

• 스칼라-텐서 중력 이론에서 등각 프레임 간의 물리적 등가성이라는 널리 수용된 개념에 도전하기 위해.
• 특히 Brans-Dicke 및 스칼라-텐서 이론에서 등각 불변성을 가정할 경우 발생하는 이론적 결함을 밝혀내기 위해.
• 스케일 단위가 점별로 변하는 웨일-통합 기하학에서만 중력 이론이 진정으로 등각 불변성을 일관되게 지닐 수 있음을 입증하기 위해.
• 등각 불변 이론에서 자연스럽게 나타나는 역설적인 물리적 결과(예: 특이성이 없는 웜홀)를 해결하기 위해.
• 웨일 대칭성 하에서 수학적 등가성과 물리적 일관성의 차이를 명확히 하여 등각 프레임의 물리적 의미를 명료화하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 $ g_{\mu\nu} \to \Omega^{-2}g_{\mu\nu} $ 에 대한 등각 스케일링에 따른 기하학적 대상(크리스토펠 기호, 리치 텐서, 곡률 스칼라)의 변환 법칙을 분석한다.
• 등각 변환 하에서 에인슈타인 텐서와 스칼라 장의 데알랑주앙의 변환 법칙을 유도하여 장 방정식의 불변성 여부를 평가한다.
• 행동의 등각 불변성만으로는 부족하며, 진정한 웨일 대칭성이 유지되기 위해서는 시공간이 웨일-통합이어야 한다는 점을 규명한다.
• 콜란의 주장에 따라 양자장론에서 유한한 행렬 원소 조건을 적용하여 양자 보정이 비최소 결합을 유도함을 보이며, 이는 초보적으론 스칼라-텐서 이론이어야 한다는 점을 시사한다.
• 웨일-통합 중력에서의 우주론적 및 구형 대칭 해를 고려하여 다수의 등가 우주와 특이성이 없는 웜홀과 같은 물리적 결과를 탐색한다.
• 경계 항과 캐논리컬 양자화의 일관성 분석을 위해 초면에서 외적 곡률의 변환을 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스칼라-텐서 중력 이론에서 등각 프레임 간의 물리적 등가성은 타당한 개념인가, 아니면 잘못된 이론적 기초에 기반하는가?
• RQ2 Brans-Dicke와 같은 표준 스칼라-텐서 이론들은 행동의 등각 불변성은 보이지만 왜 진정으로 등각 불변성을 지닐 수 없는가?
• RQ3 진정으로 등각 불변성을 지닐 수 있는 이론이 요구하는 기하학적 구조는 무엇이며, 왜 (편의)리만 기하학은 부족한가?
• RQ4 웨일-불변 중력 이론이 우주론과 블랙홀 물리학에서 어떤 물리적 결과를 낳는가?
• RQ5 양자장론에서 행렬 원소의 유한성 조건은 어떻게 스칼라-텐서 중력의 기원을 이끌어내는가?

주요 결과

• Brans-Dicke 및 표준 스칼라-텐서 이론들은 물질과 결합할 경우 이상이 발생하므로 등각 불변성이 아니며, 이는 장 방정식이 웨일 스케일링에 대해 불변이 아니기 때문이다.
• 오직 스케일 단위가 점별로 변하는 웨일-통합 시공간에 정의된 이론들만 진정으로 등각 불변성을 지닐 수 있으며, 이는 프레임 간의 물리적 등가성에 필수적이다.
• 웨일-통합 중력 이론에서는 우주의 팽창이 유일하게 결정되지 않으며, 무수히 많은 물리적으로 등가한 등각 우주가 존재하므로 '우리 우주는 어느 것인가'라는 질문이 의미를 가진다.
• 등각 불변 중력 이론에서 정적이고 구형 대칭인 블랙홀은 물리적으로 특이성이 없는 웜홀과 등가이며, 이는 표준 스칼라-텐서 이론에서는 나타나지 않는 결과이다.
• 양자장론에서 행렬 원소의 유한성 조건은 스트레스-에너지 텐서를 수정해야 하며, 이는 비최소 결합을 유도하고 따라서 초보적으론 스칼라-텐서 이론이 되어야 한다는 점을 시사한다. 이는 순수한 일반상대론에 스칼라 장만 존재한다는 가정을 무효화한다.
• 행동의 등각 불변성만으로는 부족하며, 이상을 피하고 물리적 장의 일관된 결합을 보장하기 위해 기저 시공간 기하학이 웨일-통합이어야 한다.