[논문 리뷰] On locally extremal functions on connected spaces

Тарас Банах, Myroslava Vovk외 1명|ArXiv.org|2008. 11. 11.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연결된 완비 거리형공간 위에서 모든 점이 국소 최소 또는 국소 최대인 연속적이지만 상수 함수가 아닌 함수를 구성함으로써, 국소 극치 함수에 관한 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 만약 약한 분리 수 $ R(X) < \mathfrak{c} $ 이면 이러한 함수는 반드시 상수여야 하며, 그러나 $ R(X) = \mathfrak{c} $ 일 때는 반례를 제시하여 이 조건이 정확함을 보여준다.

ABSTRACT

We construct an example of a real-valued continuous non-constant function $f$ defined on a connected complete metric space $X$ such that every point of $X$ is a point of local minimum or local maximum for $f$. The space $X$ is connected but fails to be separably connected.

연구 동기 및 목표

• 연결된 거리형공간 위의 연속적인 국소 극치 함수가 반드시 상수여야 하는가에 대한 M. Wójcik의 문제를 해결하기 위해.
• 국소 극치 함수의 상의 크기를 제약하는 데 있어 약한 분리 수 $ R(X) $ 의 역할을 조사하기 위해.
• 연결된 완비 거리형공간 위에서 비상수 연속적인 국소 극치 함수를 가지는 구체적인 예를 구성하기 위해.
• 거리형공간에서 연결성, 분리 가능 연결성, 완비성 간의 관계를 검토하기 위해.
• 연결된 공간에서 비상수 국소 극치 함수가 존재하기 위해 $ R(X) \geq \mathfrak{c} $ 가 필수적임을 확립하기 위해.

제안 방법

• 모든 점이 국소 최소 또는 국소 최대인 함수를 국소 극치 함수로 정의한다.
• 모든 $ \alpha \in [0,1] $ 에 대해 인덱싱된 $ l_1 $-그래프 $ T_\alpha $ 의 사본들의 합집합으로 공간 $ X $ 를 구성하며, 도시 간 항공 연결을 통해 연결한다.
• 도시 내 택시 이동과 공항 간 비행 이동을 조합한 거리함수 $ d $ 를 $ X $ 에 도입하여 완비성을 확보한다.
• 함수 $ f: X \to \mathbb{R} $ 를 $ f^{-1}(\alpha) = T_\alpha $ 로 정의하여 $ f $ 가 비상수이면서 연속적이게 한다.
• 비공항 지점과 공항 주변의 이웃을 분석함으로써 $ X $ 의 각 점이 국소 극치임을 증명한다.
• 함수 $ f $ 의 열린 상과 각 섬 $ T_\alpha $ 의 연결성을 이용하여 $ X $ 의 연결성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 거리형공간 위의 연속적인 국소 극치 함수는 반드시 상수여야 하는가?
• RQ2 비상수 국소 극치 함수를 가질 수 있는 연결된 거리형공간에 대해 약한 분리 수 $ R(X) $ 의 최소값은 얼마인가?
• RQ3 연결된 완비 거리형공간이 비상수 연속 함수를 가지며 모든 점이 국소 극치가 되도록 할 수 있는가?
• RQ4 분리 가능 연결성이 아닌 연결된 완비 거리형공간이 존재하는가?
• RQ5 $ R(X) $, $ \mathrm{nw}(X) $ 와 국소 극치 함수의 상의 기수 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 연결된 완비 거리형공간 $ X $ 위에 모든 점이 국소 최소 또는 국소 최대인 연속적이지만 비상수 함수 $ f: X \to \mathbb{R} $ 가 존재한다.
• 이러한 공간의 약한 분리 수 $ R(X) $ 는 $ R(X) \geq \mathfrak{c} $ 를 만족해야 하며, 이는 연속의 기수이다.
• 모든 국소 극치 함수 $ f: X \to \mathbb{R} $ 에 대해 상의 크기 $ |f(X)| \leq R(X) $ 를 만족하며, 무한한 경우 등호가 성립한다.
• 만약 $ R(X) < \mathfrak{c} $ 이면, $ X $ 위의 모든 연속적인 국소 극치 함수는 반드시 상수여야 한다.
• 구성된 공간 $ X $ 는 연결되지만 분리 가능 연결성이 아니며, 분리 가능 연결성에 대한 완비 거리형공간의 반례를 제공한다.
• 공간 $ X $ 는 완비이면서 연결되고, 분리 가능 연결성이 아닌 거리형공간이며, 문헌에 남아있던 열린 문제를 해결한다.