[논문 리뷰] On lower semicontinuous multifunctions in quasi-uniform and vector spaces

Andrzej Spakowski|ArXiv.org|2002. 04. 10.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 준일양공간과 위상벡터공간에서 다중함수에 대한 하향연속성의 통합 개념인 $β$-하향연속성($β$-lsc)을 제안한다. 이는 비에트로비스-lsc, 하우스도르프-lsc, 유계-하우스도르프-lsc를 일반화한다. 범위공간이 국소적으로 볼록일 때만, 하우스도르프-lsc인 다중함수의 볼록결합이 하우스도르프-lsc임을 증명하며, 특히 커버 $β$의 이동불변성과 국소적 볼록성 조건 하에서 벡터합과 볼록결합 연산이 $β$-lsc를 유지함을 보인다.

ABSTRACT

Given a cover $\mathcal{B}$ of a quasi-uniform space $Y$ we introduce a concept of lower semicontinuity for multifunctions $F:X o 2^Y$, called $\mathcal{B}$-lsc. In this way, we get a common description of Vietoris-lsc, Hausdorff-lsc, and bounded-Hausdorff-lsc as well. Further, we examine set-theoretical and vector operations on such multifunctions. We also point out that the convex hull of Hausdorff-lsc multifunctions need not to be Hausdorff-lsc except the case where the range space is locally convex.

연구 동기 및 목표

• 다양한 위상공간과 벡터공간에서 다중함수의 하향연속성 개념을 통합하고자 한다.
• 범위공간의 커버를 사용하여 비에트로비스-lsc, 하우스도르프-lsc, 유계-하우스도르프-lsc를 하나의 프레임워크로 일반화하고자 한다.
• 벡터합과 볼록결합과 같은 집합론적 연산에서 하향연속성이 어떻게 유지되는지 조사하고자 한다.
• 하우스도르프-lsc인 다중함수의 볼록결합이 하우스도르프-lsc로 유지되기 위한 필요충분조건을 규명하고자 한다.
• 국소적 볼록성의 역할이 볼록결합 연산 하에서 하향연속성 유지에 어떻게 기여하는지 명확히 하고자 한다.

제안 방법

• 범위공간 $Y$의 커버 $β$와 $Y$ 위의 준일양구조 $υ$를 사용하여 $β$-lsc 다중함수를 정의함으로써, 기존 하향연속성 개념을 일반화한다.
• 다음 조건으로 $β$-lsc 조건을 기술한다: 모든 $W \in \mathcal{U}$와 $B \in \mathcal{B}$에 대해, $F(x_0) \cap B \subset W^{-1}(F(x))$를 모든 $x \in U(x_0)$에 대해 만족하는 $x_0$의 이웃 $U(x_0)$가 존재한다.
• 준일양구조를 사용하여 $W^{-1}(F(x)) = \{ y \in Y : \exists z \in F(x), (y,z) \in W \}$로 정의함으로써, 이웃 기반의 도달 가능성 개념을 수학적으로 기술한다.
• 벡터 연산인 벡터합 $F+G$와 볼록결합 $\text{conv}(F)$에 대해 이 개념을 적용하고, $β$-lsc의 유지 여부를 분석한다.
• 만약 $\mathcal{B}$가 이동불변이고 $F$가 $\mathcal{B}$-lsc이면, 연속함수 $g$에 대해 $F+g$가 $\mathcal{B}$-lsc임을 보이며, 이는 이웃의 변형과 집합 포함관계를 이용한다.
• 국소적으로 볼록인 공간에서는 $\mathcal{B}$-lsc이면 $\text{conv}(F)$가 $\mathcal{B}$-lsc임을 증명하며, 이는 볼록조합과 이웃의 볼록성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비에트로비스-lsc, 하우스도르프-lsc, 유계-하우스도르프-lsc를 다중함수에 대해 하나의 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 두 $\mathcal{B}$-lsc 다중함수의 벡터합이 $\mathcal{B}$-lsc가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 $\mathcal{B}$-lsc 다중함수의 볼록결합이 항상 $\mathcal{B}$-lsc인가? 이를 위해 $Y$에 어떤 구조적 가정이 필요한가?
• RQ4 비국소적으로 볼록인 공간에서, 하우스도르프-lsc인 다중함수의 볼록결합이 하우스도르프-lsc로 유지되는가?
• RQ5 벡터합 연산 하에서 $\mathcal{B}$-lsc를 유지하기 위해 이동불변성이 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 범위공간의 커버 $\mathcal{B}$와 $Y$ 위의 준일양구조를 사용함으로써, $\mathcal{B}$-lsc 개념이 비에트로비스-lsc, 하우스도르프-lsc, 유계-하우스도르프-lsc를 통합한다.
• 만약 $\mathcal{B}$가 이동불변이고 한 함수가 연속이면, 두 $\mathcal{B}$-lsc 다중함수의 벡터합은 $\mathcal{B}$-lsc이다.
• 범위공간 $Y$가 국소적으로 볼록이면, $\mathcal{B}$-lsc 다중함수의 볼록결합은 $\mathcal{B}$-lsc이다.
• 비국소적으로 볼록이지 않은 매트리자블 공간에서는, 하우스도르프-lsc인 다중함수의 볼록결합이 하우스도르프-lsc가 되지 않을 수 있으며, 이는 $0 < p < 1$인 $l^p$ 공간을 이용한 반례로 확인된다.
• 두 V-lsc 다중함수의 벡터합은 V-lsc이며, V-lsc는 $\mathcal{B}$가 단일원소 집합의 가족일 때의 $\mathcal{B}$-lsc에 해당한다.
• 논문은 이동불변인 $\mathcal{B}$ 조건이 있더라도, 두 $\mathcal{B}$-lsc 다중함수의 벡터합이 $\mathcal{B}$-lsc로 유지되지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 제시함으로써, 이동불변성만으로는 충분하지 않으며 추가적인 구조적 조건이 필요함을 시사한다.