[논문 리뷰] On Lusternik-Schnirelmann category of SO(10)

Norio Iwase, Kai Kikuchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 12. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 구조 군이 $\mathrm{SO}(9)$인 주다발 $\mathrm{SO}(10) \to S^9$의 러스티니크-슐레르멜라니 (L-S) 차원을 결정하기 위한 새로운 호모토피 기준을 수립한다. 이 기준은 $\mathrm{SO}(9)$의 콘 분해와 특성 사상 및 버스타인-힐턴 호프 불변량에 대한 조건을 바탕으로 하며, 주요 결과는 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$임을 보여주며, 이는 그 모듈로 2 컵 길이와 일치한다. 이는 모든 $\mathrm{SO}(n)$에 대해 이 등식이 성립할 것이라는 추측을 지지한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $p : E o ΣA$ be a principal G-bundle with a characteristic map $α: A o G$, where $A=ΣA_{0}$ for some $A_{0}$. Let $\{K_{i}{ o} F_{i-1}{\hookrightarrow} F_{i} \,|\, 1{\le} i {\le} n,\, F_{0}{=} \{\ast\} \; F_{1}{=} Σ{K_{1}} \; ext{and}\; F_{n}{\simeq} G \}$ be a cone-decomposition of $G$ of length $m$ and $F'_{1}=Σ{K'_{1}} \subset F_{1}$ with $K'_{1} \subset K_{1}$ which satisfy $F_{i}F'_{1} \subset F_{i+1}$ up to homotopy for any $i$. Our main result is as follows: we have $\operatorname{cat}(X) \le m{+}1$, if firstly the characteristic map $α$ is compressible into $F'_{1}$, secondly the Berstein-Hilton Hopf invariant $H_{1}(α)$ vanishes in $[A, ΩF'_1{\ast}ΩF'_1]$ and thirdly $K_{m}$ is a sphere. We apply this to the principal bundle $\mathrm{SO}(9)\hookrightarrow\mathrm{SO}(10) o S^{9}$ to determine L-S category of $\mathrm{SO}(10)$.

연구 동기 및 목표

• 주다발 $E \to \Sigma A$의 L-S 차원을 상한하기 위한 호모토피 기준을 개발하는 것. 이 기준은 콘 분해와 특성 사상에 기반한다.
• 기하(topology)에서 중요한 리 군인 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$를 계산하는 열린 문제를 다루는 것.
• $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$임을 증명하여, 이 값이 그 모듈로 2 컵 길이와 일치함을 보이며, 이는 $\mathrm{SO}(n)$에 대한 일반적인 패턴을 시사한다.

제안 방법

• 길이 20인 $\mathrm{SO}(9)$의 콘 분해를 구성한다. 여기서 $F_0 = \{\ast\}$, $F_1 \simeq \Sigma \mathbb{C}P^3$, $F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$이며, $F_i$는 세포 첨부를 통해 구성된다.
• $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$를 정의하고, $1 \leq i < 20$에 대해 곱셈 $\mu|_{F_i \times F'_1}$가 호모토피 상에서 $F_{i+1}$로 압축 가능하다는 것을 검증함으로써 군 구조와의 호환성을 확보한다.
• 특성 사상 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$가 $\Sigma \mathbb{C}P^3$로 압축 가능하다는 것을 보이며, 이는 $\alpha$가 $\mathbb{C}P^3$ 위의 표준 $S^1$-다발의 스펜셔닝과 호모토피임을 이용한다.
• 버스타인-힐턴 호프 불변량 $H_1(\alpha)$가 $[S^8, \Omega F'_1 * \Omega F'_1]$에서 영이 됨을 증명한다. 이는 $\alpha$가 스펜셔닝 사상이기 때문이다.
• 정리 1.4를 적용하여, 세 가지 조건(특성 사상 $\alpha$가 $F'_1$로 압축 가능, $H_1(\alpha)$가 영, $K_m$이 구형)을 만족할 경우 $\operatorname{cat}(E) \leq m+1$임을 도출함으로써 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$을 결론짓는다.
• 상한과 기존의 하한 $\operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2) = 21$을 조합하여 등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 2에 대한 컵 길이와 일치하는가? $\mathrm{SO}(10)$의 러스티니크-슐레르멜라니 차원은 무엇이며, 그 값은 무엇인가?
• RQ2 주다발 $\mathrm{SO}(9) \to \mathrm{SO}(10) \to S^9$의 구조를 바탕으로 콘 분해 방법을 사용하여 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$를 계산할 수 있는가?
• RQ3 버스타인-힐턴 호프 불변량과 콘 분해 구조가 주다발 $E \to \Sigma A$에 대해 $\operatorname{cat}(E) \leq m+1$을 보장하는 호모토피 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathrm{SO}(10)$의 러스티니크-슐레르멜라니 차원은 정확히 21이다. 이는 콘 분해로부터 유도된 상한과 컵 길이로부터 유도된 하한을 조합함으로써 확립된다.
• 상한 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$는 특성 사상 $\alpha$가 $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3$로 압축 가능하고, $H_1(\alpha)$가 영이며, 최상위 세포 $K_{20}$가 구형일 경우 적용 가능한 정리 1.4에 의해 도출된다.
• 특성 사상 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$는 $\mathbb{C}P^3$ 위의 표준 $S^1$-다발의 스펜셔닝과 호모토피이므로, $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$로의 압축 가능성이 보장된다.
• 버스타인-힐턴 호프 불변량 $H_1(\alpha)$는 $\alpha$가 스펜셔닝 사상이므로, 관련 호모토피 군에서 영이 된다.
• $\mathrm{SO}(9)$의 콘 분해는 길이 20이며, $F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$이며, 최상위 세포 $K_{20} = S^{35}$로, 정리 1.4의 구형 조건을 만족한다.
• $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21 = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2)$라는 결과는 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(n)) = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(n); \mathbb{F}_2)$가 모든 $n$에 대해 성립할 것이라는 추측을 지지한다.