[논문 리뷰] On M-functions associated with modular forms

Philippe Lebacque, Alexey Zykin|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 고전형 모듈라 형식 $f$의 무게 $k$와 수준 $N$ 및 소수 차수를 가진 딜레르트 캐릭터 $\chi$에 대해 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$의 값 분포를 연구한다. 여기서 $\mathfrak{L}$은 $\log L(f\otimes\chi,s)$ 또는 $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$일 수 있다. 일반화된 리만 가설을 전제로 하여, 극한 함수와 조화 평균을 통해 이러한 값들의 등분포를 증명하며, 해석적 성질과 오일러乘법적 성질을 갖는 극한 밀도 함수 $M_\sigma(w)$ 및 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$의 존재성을 보인다.

ABSTRACT

Let $f$ be a primitive cusp form of weight $k$ and level $N,$ let $χ$ be a Dirichlet character of conductor coprime with $N,$ and let $\mathfrak{L}(f\otimes χ, s)$ denote either $\log L(f\otimes χ, s)$ or $(L'/L)(f\otimes χ, s).$ In this article we study the distribution of the values of $\mathfrak{L}$ when either $χ$ or $f$ vary. First, for a quasi-character $ψ\colon \mathbb{C} o \mathbb{C}^ imes$ we find the limit for the average $\mathrm{Avg}\_χψ(L(f\otimesχ, s)),$ when $f$ is fixed and $χ$ varies through the set of characters with prime conductor that tends to infinity. Second, we prove an equidistribution result for the values of $\mathfrak{L}(f\otimes χ,s)$ by establishing analytic properties of the above limit function. Third, we study the limit of the harmonic average $\mathrm{Avg}^h\_f ψ(L(f, s)),$ when $f$ runs through the set of primitive cusp forms of given weight $k$ and level $N o \infty.$ Most of the results are obtained conditionally on the Generalized Riemann Hypothesis for $L(f\otimesχ, s).$

연구 동기 및 목표

• 고정된 $f$에 대해, $\chi$의 차수가 무한히 커질 때 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s) = \log L(f\otimes\chi,s)$ 또는 $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$의 분포를 분석하는 것.
• 준특성군 $\psi$에 대해 평균 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$의 극한을 분석함으로써, 이러한 $\mathfrak{L}$-값들의 등분포 결과를 확립하는 것.
• 고정된 무게 $k$와 수준 $N \to \infty$인 기본 촘프형식에 대한 조화 평균으로의 분석을 확장하고, 이를 통해 얻어진 극한 밀도 함수를 연구하는 것.
• 극한 함수 $M_\sigma(w)$ 및 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$의 해석적 및 산술적 성질을 탐구하는 것. 이는 오일러 곱 구조와 성장 행동을 포함한다.

제안 방법

• 저자들은 모듈라 형식과 그 딜레르트 캐릭터에 의한 스위치와 관련된 $L$-함수 이론을 사용하며, 특히 이러한 $L$-함수의 로그 도함수와 로그에 초점을 맞춘다.
• 일반화된 리만 가설 하에서, 준특성군 $\psi$에 대해 평균 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$의 극한으로 정의된 극한 함수 $\mathcal{M}_\sigma(w)$를 정의한다.
• 극한 측도가 밀도 함수 $M_\sigma(w)$에 대응함을 보여, 이에 따라 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$가 그 푸리에 변환임을 증명함으로써 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$의 등분포를 확립한다.
• 극한 함수 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$의 해석적 계속성과 오일러 곱 전개를, 국소 $L$-인자와 헤케 고유형식의 구조로부터 유도한다.
• 형식 $f$에 대한 조화 평균을 위해, 저자들은 페르스폰 트레이스 공식을 사용하고, 가중치를 $L(\mathrm{Sym}^2 f, 1)$과 연결함으로써 트레이스 공식 기법을 통해 조화 가중치를 제거하고자 한다.
• 분석은 $L(f\otimes\chi,s)$에 대한 일반화된 리만 가설에 조건을 두며, 이는 $L$-함수와 그 로그 도함수의 수렴성과 해석적 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $f$에 대해, $\chi$의 차수가 무한히 커질 때 평균 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$의 극한을 계산할 수 있는가?
• RQ2 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$의 분포는 복소평면에서 등분포하는가? 그리고 이에 대응하는 극한 밀도 함수 $M_\sigma(w)$는 무엇인가?
• RQ3 $N \to \infty$인 기본 촘프형식에 대한 조화 평균 $\mathrm{Avg}^h_f \psi(L(f,s))$는 분석 가능하며, 극한 밀도 함수를 유도하는가?
• RQ4 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$의 해석적 성질은 무엇인가? 오일러 곱, 해석적 계속성, 성장 행동을 포함하여.
• RQ5 결과들은 일반화된 리만 가설 없이도 확장 가능할 수 있으며, 다른 자동형식 가족으로 확장 가능한가? 그리고 함수장 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 리만 가설 하에서, 평균 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$의 극한이 존재하며, 이는 $z_1, z_2$에 대해 전체 함수이며 오일러 곱 전개를 갖는다. 이 함수를 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$로 정의한다.
• $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$의 분포는 극한 밀도 $M_\sigma(w)$에 대해 등분포하며, 이는 $\int_{\mathbb{C}} M_\sigma(w) \Phi(w) |dw| = \lim_{\chi} \mathrm{Avg}_\chi \Phi(\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s))$를 만족한다. 여기서 $\Phi$는 최대 지수 성장성을 갖는 테스트 함수이다.
• $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$는 $M_\sigma(w)$의 역 푸리에 변환임을 보이며, 그 플랑커렐 체적 $\int_{\mathbb{C}} |\tilde{M}_\sigma(z,\bar{z})|^2 |dz|$는 잘 정의되고 중요한 대상이 된다.
• 수준 $N \to \infty$인 기본 촘프형식에 대한 조화 평균에 대해, 논문은 극한 밀도 함수 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$의 존재를 증명한다. 다만 $s$와 $\bar{s}$에 모두 의존하므로 $s$에 대해 해석적이지는 않다.
• 결과들은 일반화된 리만 가설에 조건을 두며, 특히 조화 평균의 경우 이 조건을 제거하는 데 있어 핵심적인 과제를 밝혀내었다.
• 논문은 조화 가중치를 제거하고 결과를 다른 자동형식으로 확장하는 프로그램을 제시하며, 트레이스 공식과 국소 이론이 필수적인 도구가 될 것임을 시사한다.