[논문 리뷰] On M-metric spaces and fixed point theorems

Samer Assaf|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 23.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Asadi 등이 2014년에 발표한 M-거리 논문의 보조정리 2.5B에 대한 증명에서 심각한 결함을 밝혀내며, 특히 lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 이면 lim σ(xₙ,xₙ) = 0 이다 는 잘못된 주장에 초점을 맞춘다. 이를 수정하기 위해, M-거리 공간에서 열린 구역과 위상을 재정의하고, r-코시 수열을 위한 새로운 수축 조건을 도입하며, 원래 논문의 고정점 정리들을 일반화하고 타당하게 재구성하는 새로운 주요 정리를 증명한다. 이는 연속성과 유계성 조건을 약화시켜도 고정점 존재성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we make some observations concerning m-metric spaces and point out some discrepancies in the proofs found in the literature. To remedy this, we propose a new topological construction and prove that it is in fact a generalization of a partial metric space. Then, using this construction, we present our main theorem having as its corollaries the fixed point theorems found in previous publications.

연구 동기 및 목표

• Asadi 등의 2014년 M-거리 논문의 보조정리 2.5B에서 lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 이면 lim σ(xₙ,xₙ) = 0 이다 는 주장이 반례를 통해 잘못되었음을 입증함.
• 적절한 수렴과 극한 행동을 보장하기 위해 M-거리 공간에 대한 열린 구역의 새로운 정의를 제안하여 위상적 구성의 개선을 시도함.
• 약한 궤도 연속성, 비확장성 또는 유계성 조건 하에서 고정점 존재를 보장하는 새로운 주요 고정점 정리(정리 8.1)를 수립함으로써 Asadi 등이 제시한 원래 정리들을 타당하게 복원함.
• 제안된 M-거리가 부분 거리 공간의 일반화임을 보이며, M-거리로부터 부분 거리를 어떻게 유도할 수 있는지 설명함.
• 제안된 새로운 프레임워크와 조건을 사용하여 Asadi 등이 원래 논문에서 제시한 정리 3.1과 정리 3.2의 정확한 재증명을 제공함.

제안 방법

• 음수 값을 가질 수 있는 일반화된 M-거리의 정의를 제안하며, (σ-lbnd), (σ-sym), (σ-sep), (σ-inq)의 공리 체계를 따르며, min{σ(x,x),σ(y,y)}를 하한으로 삼음.
• 원래의 위상 구성에서 발생하는 결함을 수정하기 위해 M-거리 공간 내에서 열린 구역의 정의를 재수정함으로써 적절한 수렴과 극한 행동을 보장함.
• 새로운 위상 기반으로 M-거리 공간 내에서 r-코시 수열과 극한을 정의하고, 극한의 유일성 및 수렴 행동과 같은 위상적 성질을 확립함.
• r-코시 함수와 수축 조건을 도입하여 함수 f에 의해 생성된 수열이 r-코시가 되도록 보장함으로써 고정점 분석을 가능하게 함.
• M-거리 공간 내에서 약한 궤도 연속성과 비확장성을 정의하고, 이러한 성질을 이용해 특별한 극한이 고정점이 되는 조건을 설정함.
• 주요 정리(8.1)를 증명하여, f가 x₀에서 r-코시이면서 특별한 극한 a를 가지며, 다음 세 조건 중 하나 이상이 성립하면 a가 고정점이 됨을 보임: (1) 약한 궤도 연속성과 비확장성, 또는 (2) σ(f(a),f(a)) 또는 σ(a,a)에 의해 아래로 유계임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Asadi 등(2014)의 보조정리 2.5B에서 lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 이면 lim σ(xₙ,xₙ) = 0 이다 는 주장이 M-거리 공간에서 성립하는가?
• RQ2 수정된 열린 구역 정의를 사용하여 M-거리 공간에 타당한 위상적 구조를 정의할 수 있는가? 이는 적절한 수렴과 극한 행동을 보장하는가?
• RQ3 잘못된 보조정리 2.5B에 의존하지 않고 M-거리 공간에서 고정점 정리를 증명할 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 대체 조건이 필요한가?
• RQ4 제안된 M-거리 프레임워크가 부분 거리 공간을 일반화하는 방식은 어떠한가? 그리고 M-거리로부터 부분 거리를 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ5 Asadi 등이 원래 논문에서 제시한 고정점 정리(정리 3.1과 정리 3.2)는 수정된 프레임워크와 새로운 조건을 사용하여 엄밀하게 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 반례를 제시하여 lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 이면 lim σ(xₙ,xₙ) = 0 이다 는 주장이 M-거리 공간에서 성립하지 않음을 입증함으로써 Asadi 등이 제시한 원래 증명의 보조정리 2.5B가 잘못되었음을 밝힘.
• 원래의 열린 구역 정의는 타당한 위상을 유도하지 못하며, 이를 수정하기 위해 새로운 정의를 제안함으로써 위상적 행동을 올바르게 복원함.
• 새로운 주요 정리(8.1)는 세 가지 다른 조건 하에서 고정점 존재를 보장함: (1) 약한 궤도 연속성과 비확장성, 또는 (2) σ(f(a),f(a)) 또는 σ(a,a)에 의해 아래로 유계임.
• 수정된 프레임워크를 통해 Asadi 등의 정리 3.1에 대한 타당한 증명이 가능해지며, 이는 완비 M-거리 공간에서 연속적이고 k-수축성인 함수(0 ≤ k < 1)가 유일한 고정점을 가짐을 보임.
• 수정된 프레임워크를 통해 정리 3.2의 타당한 증명도 가능해지며, 이는 완비 M-거리 공간에서 연속적이고 2k-수축성인 함수(0 ≤ k < 1/2)가 유일한 고정점을 가짐을 보임.
• 논문은 제안된 M-거리가 부분 거리 공간의 일반화임을 보이며, σ*(x,y) = σ(x,y) − min{σ(x,x),σ(y,y)} (x ≠ y일 때) 및 σ*(x,x) = 0 으로 정의된 σ*를 통해 M-거리로부터 부분 거리를 어떻게 유도할 수 있는지 설명함.