[논문 리뷰] On mappings in the Orlicz-Sobolev classes

Denis Kovtonyuk, Vladimir Ryazanov외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 22.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 116인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 개방형 사상이 함수 $\rho$ 에 대해 캘러본 타입의 조건을 만족할 경우 거의 everywhere에서 미분 가능하고, 거의 모든 평면에서 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 루신 (N)-성질을 갖는다는 것을 확립한다. 이 조건은 필요이고 충분함이 입증되었으며, 이 결과들은 유한 변형을 갖는 사상에 대한 저하 및 고리형 $Q$-홈오모르피즘 이론을 오르리치-소볼레프 공간, 특히 $p>n-1$ 인 $W^{1,p}_{\rm loc}$ 에까지 확장한다. 핵심 기여는 $\rho$ 의 성장에 대한 $(N)$-성질의 정확한 특성화이다.

ABSTRACT

First of all, we prove that open mappings in Orlicz-Sobolev classes $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ under the Calderon type condition on $ϕ$ have the total differential a.e. that is a generalization of the well-known theorems of Gehring-Lehto-Menchoff in the plane and of Väisälä in ${\Bbb R}^n$, $n\geqslant3$. Under the same condition on $ϕ$, we show that continuous mappings $f$ in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ have the $(N)$-property by Lusin on a.e. hyperplane. Our examples demonstrate that the Calderon type condition is not only sufficient but also necessary for this and, in particular, there exist homeomorphisms in $W^{1,n-1}_{ m loc}$ which have not the $(N)$-property with respect to the $(n-1)$-dimensional Hausdorff measure on a.e. hyperplane. It is proved on this base that under this condition on $ϕ$ the homeomorphisms $f$ with finite distortion in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ and, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ are the so-called lower $Q$-homeomorphisms where $Q(x)$ is equal to its outer dilatation $K_f(x)$ as well as the so-called ring $Q_*$-homeomorphisms with $Q_*(x)=[K_{f}(x)]^{n-1}$. This makes possible to apply our theory of the local and boundary behavior of the lower and ring $Q$-homeomorphisms to homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes.

연구 동기 및 목표

• 함수 $\rho$ 에 대해 캘러본 타입의 조건을 만족할 경우 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 개방형 사상이 거의 everywhere에서 미분 가능함을 확립하기 위해.
• 연속적인 사상이 거의 모든 평면에서 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 루신 (N)-성질을 갖는지 분석하기 위해.
• $(N)$-성질이 성립하는 데 있어 $\rho$ 에 대한 정확한 조건을 규명하고, 그 필요성과 충분성을 입증하기 위해.
• 유한 변형을 갖는 홈오모르피즘들이 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내에서 하위 및 고리형 $Q$-홈오모르피즘임을 보여주며, 각각 $Q(x)=K_f(x)$ 및 $Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$ 이 되도록 하기 위해.
• 캘러본 조건이 필수적임을 보여주는 반례를 구성하기 위해, 특히 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 (N)-성질을 갖지 않는 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 내의 홈오모르피즘을 포함하여.

제안 방법

• 표면 가닥의 모듈러스와 $\rho$ 에 대한 적분 조건을 이용하여, 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 개방형 사상의 거의 everywhere에서의 미분 가능성을 증명하기 위해.
• 표면 가닥의 모듈러스 이론을 적용하여 루신 (N)-성질을 분석하고, 이 성질이 $\rho$ 의 성장과 어떻게 관련되는지 규명하기 위해.
• 캘러본 조건을 만족하는 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 사상이 하위 $Q$-홈오모르피즘 $Q(x)=K_f(x)$ 와 고리형 $Q_*$-홈오모르피즘 $Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$ 이 되도록 하는 것을 확립하기 위해.
• 오르디너리 프로젝션을 통해 $\mathbb{R}^k$ 내의 표면를 이용하여, 캘러본 조건이 (N)-성질에 대해 필수적임을 보여주는 명시적 반례를 구성하기 위해.
• 차원 $n \geq 3$ 에서 $(N)$-성질에 대한 정확한 기준으로서 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 를 사용하기 위해.
• 기존의 ACL 함수 및 $W^{1,p}_{\rm loc}$-$(N)$-성질에 관한 결과를 함수 $\rho$ 를 통해 오르리치-소볼레프 공간으로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $\rho$ 에 대해 어떤 조건이 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 개방형 사상이 거의 모든 평면에서 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 (N)-성질을 갖는지 결정하는가?
• RQ2 캘러본 타입의 조건인 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 는 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내 사상에 대해 (N)-성질에 대해 필요이고 충분한가?
• RQ3 유한 변형을 갖는 사상이 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내에서 하위 또는 고리형 $Q$-홈오모르피즘으로 분류될 수 있는가? 이에 대응하는 $Q$ 함수는 무엇인가?
• RQ4 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 거의 모든 평면에서 (N)-성질을 갖지 않는 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 내의 홈오모르피즘이 존재하는가?
• RQ5 저하 및 고리형 $Q$-홈오모르피즘 이론은 오르리치-소볼레프 공간으로 어떻게 확장될 수 있으며, 특히 $p>n-1$ 인 경우에 대해 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 캘러본 타입의 조건 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 를 만족하는 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 개방형 사상은 거의 everywhere에서 미분 가능하다.
• 함수 $\rho$ 가 캘러본 조건을 만족하는 연속적인 사상은 거의 모든 평면에서 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 (N)-성질을 갖는다.
• 캘러본 조건는 (N)-성질에 대해 충분할 뿐 아니라 필수적이다. $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 내의 반례들은 이 조건를 약화시킬 수 없음을 보여준다.
• 캘러본 조건을 만족하는 오르리치-소볼레프 공간 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 내의 유한 변형을 갖는 홈오모르피즘은 하위 $Q$-홈오모르피즘 $Q(x) = K_f(x)$ 와 고리형 $Q_*$-홈오모르피즘 $Q_*(x) = [K_f(x)]^{n-1}$ 이다.
• 논문은 거의 모든 평면 $y = \text{const}$ 에서 $(n-1)$-차원 하우스도르프 측도에 대해 (N)-성질을 갖지 않는 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 내의 명시적 홈오모르피즘의 예를 구성하여, 조건의 정확성을 입증한다.
• 결과적으로, 이 논문은 [23]의 예비 인쇄물에서의 주장이 잘못되었음을 보여주며, $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 내의 홈오모르피즘이 비록 더 약한 형태로 필요한 조건을 만족하더라도 (N)-성질이 실패할 수 있음을 보여준다.