[논문 리뷰] On $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic

Ping Li, Wei Dai외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 10.

Coding theory and cryptography참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 길이에 대해 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-가산 상수순환 코드의 대수적 구조를 다루며, 다항식 환 $R_{\alpha,\beta}$의 부분모듈로서의 표현을 제공한다. 최소 생성집합을 도출하고, 생성 다항식을 통해 쌍대 코드를 특성화하며, 그레이 이미지의 성질을 분석하여 생성 다항식의 차수에 기반한 코드 매개변수에 대한 명시적 공식을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, we study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code of arbitrary length. Firstly, we study the algebraic structure of this family of codes and a set of generator polynomials for this family as a $(\mathbb{Z}_{2}+u\mathbb{Z}_{2})[x]$-submodule of the ring $R_{α,β}$. Secondly, we give the minimal generating sets of this family codes, and we determine the relationship of generators between the $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic codes and its dual and give the parameters in terms of the degrees of the generator polynomials of the code. Lastly, we also study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code in terms of the Gray images.

연구 동기 및 목표

• 코드를 $R[x]$-모듈로서 $R_{\alpha,\beta}$의 부분모듈로 간주하여 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-가산 상수순환 코드의 대수적 구조를 특성화하는 것.
• 이 코드들의 최소 생성집합을 결정하고, 코드의 생성자와 그 쌍대 코드의 생성자 간의 관계를 수립하는 것.
• 생성 다항식의 차수에 기반한 코드 매개변수에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.
• 이 코드들의 그레이 이미지와 그레이 사상 하에서의 쌍대 코드 간의 관계를 분석하는 것.
• ζ_2\u03b6_2[u]$-가산 코드의 맥락에서 혼합 알파벳 상의 상수순환 코드에 대한 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 코드워드를 다항식 쌍 $(a(x), b(x))$로 표현하여 환 $R_{\alpha,\beta} = \mathbb{Z}_2[x]/\langle x^\alpha - 1 \rangle \times R[x]/\langle x^\beta - 1 - u \rangle$ 내에서 다루며, 코드가 $R[x]$-부분모듈로 존재함을 확인한다.
• $(1+u)$-상수순환 이동을 정의하고, 코드가 이 연산에 대해 닫혀 있음을 보여 상수순환 성질을 입증한다.
• 거리 성질을 유지하는 그레이 사상 $\phi$를 통해 코드를 길이 $\alpha + 2\beta$인 이진 선형 코드로 변환한다.
• 내적과 다항식 쌍대성, 특히 $\gcd$와 역수 다항식을 활용하여 쌍대 코드의 생성 다항식을 유도한다.
• 원래 코드의 쌍대와 그 이진 이미지의 쌍대 사이의 관계를 수립하여 $\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$임을 증명한다.
• 다항식 환 $\mathbb{Z}_2$의 결과를 적용하여 쌍대 생성자를 $\gcd(a(x), l(x))^*$와 역수 다항식의 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-가산 상수순환 코드를 $R_{\alpha,\beta}$의 부분모듈로 간주하여 대수적 구조를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 이 코드들의 최소 생성집합은 무엇이며, 코드의 매개변수와는 어떻게 관련되는가?
• RQ3 원래 코드의 생성자에 기반해 쌍대 코드의 생성자를 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 코드의 그레이 이미지와 쌍대 코드 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ5 생성 다항식의 차수는 코드의 매개변수를 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 코드 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), g(x)) \rangle$는 $R_{\alpha,\beta}$ 내에서 생성 다항식에 의해 완전히 특성화되며, $a(x)$는 $x^\alpha - 1$을 나누고 $g(x)$는 $x^\beta - 1 - u$를 나눈다.
• 쌍대 코드 $C^\perp$의 생성자는 $\bar{a}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{\gcd(a(x), l(x))^*}$, $\bar{l}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{a^*(x)} \lambda(x)$, $\bar{g}(x) = \frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) g^*(x)}$로 주어지며, 여기서 $\lambda(x) \in \mathbb{Z}_2[x]$이다.
• 그레이 이미지 $\phi(C)$는 길이 $\alpha + 2\beta$인 이진 선형 코드이며, $\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$를 만족하여 사상 하에서 쌍대성의 유지가 보장된다.
• 코드의 차원은 $k_1 + 2k_2$이며, $|C| = 2^{k_1} 4^{k_2}$이고, 쌍대 코드의 크기는 $|C^\perp| = 2^{\alpha + k_1 - 2k_0} 4^{\beta - k_1 - k_2 + k_0}$이다. 여기서 $k_0$는 부분코드 $C_b$의 차원이다.
• 형태 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), u g(x)) \rangle$를 가진 코드의 경우, $\bar{g}(x)$는 $x^{2\beta} - 1$과 역수 다항식을 포함하여 유사하게 유도된다.
• 만약 $g(x) = f_1^{i_1}(x) \cdots f_r^{i_r}(x)$라면, 쌍대 생성자 $\bar{f}_j(x)$는 $\frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) f_j^{*i_j}(x)}$로 주어지며, 이는 곱셈적 쌍대성의 구조를 보여준다.