[논문 리뷰] On matrix exponential approximations of the infimum of a spectrally negative Levy process

Florin Avram, András Horváth외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 09.

Random Matrices and Applications참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 첫번째 통과 및 파산 확률 계산의 정확성을 향상시키기 위해 모멘트 피팅 및 패드에 근거한 근사 기법을 활용하여 스펙트르ально 음성 레비 과정의 하한에 대한 고차수 행렬 지수 근사법을 개발한다. 이는 새로운 편향된 Cramér-Lundberg 모델에 대한 근사법을 도입하고, Johnson-Taaffe 근사법을 임의의 고차수 모멘트에 적합하도록 확장하여 기존의 Renyi, De Vylder, Whitt-Ramsay 등의 방법보다 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We recall four open problems concerning constructing high-order matrix-exponential approximations for the infimum of a spectrally negative Levy process (with applications to first-passage/ruin probabilities, the waiting time distribution in the M/G/1 queue, pricing of barrier options, etc). On the way, we provide a new approximation, for the perturbed Cramer-Lundberg model, and recall a remarkable family of (not minimal order) approximations of Johnson and Taaffe, which fit an arbitrarily high number of moments, greatly generalizing the currently used approximations of Renyi, De Vylder and Whitt-Ramsay. Obtaining such approximations which fit the Laplace transform at infinity as well would be quite useful.

연구 동기 및 목표

• 첫번째 통과 및 파산 문제에서 스펙트르ально 음성 레비 과정의 하한에 대한 고차수 모멘트 기반 근사법의 부족을 해결하기 위해.
• 편향된 Cramér-Lundberg 모델에 대한 새로운 행렬 지수 근사법을 개발하여 적합성과 고차수 모멘트 피팅을 보장하기 위해.
• Johnson과 Taaffe의 모멘트 피팅 근사법을 임의의 순서로 일반화하여 현재의 Renyi, De Vylder, Whitt-Ramsay 등의 방법을 뛰어넘기 위해.
• 무한대에서 라플라스 변환의 점 渐진적 행동과 함께 저차수 모멘트를 모두 일치시키는 근사법의 가능성 여부를 조사하기 위해.
• 계수의 음수성과 적절한 단계형 표현을 확인하여 행렬 지수 근사법의 적합성을 보장하기 위해.

제안 방법

• 하한 분포의 라플라스 변환에 대한 모멘트 기반 피팅을 매트릭스 지수 함수를 사용하여 수행한다.
• 고차수 모멘트 피팅을 달성하기 위해 라플라스 변환에 대한 패드 근사 및 두 점 패드 근사를 적용한다.
• Pollaczek-Khinchine 공식의 기호적 역변환을 사용하여 기준으로 삼을 정확한 파산 확률을 유도한다.
• 점 渐진적 행동과 적합성을 유지하는 새로운 편향된 Cramér-Lundberg 모델에 대한 근사 방법을 도입한다.
• 라플라스 변환의 유리함수 근사를 통해 Johnson-Taaffe 근사법을 임의의 수의 모멘트 피팅이 가능하도록 확장한다.
• 감마 분포 및 혼합 지수 분포의 청구 분포 하에서 정확한 및 근사된 파산 확률의 수치 표를 사용하여 근사법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르ально 음성 레비 과정의 하한에 대한 고차수 모멘트 기반 근사법을 구성하는 데 있어 근본적인 과제는 무엇인가?
• RQ2 세 개 이상의 모멘트를 피팅하면서도 적합성(음이 아닌 밀도)을 보장하는 행렬 지수 근사법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 어떻게 하면 저차수 모멘트와 무한대에서의 라플라스 변환의 점 渐진적 행동을 모두 일치시키는 근사법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 제안된 근사법이 Renyi, De Vylder, Whitt-Ramsay 등의 고전적 방법에 비해 정확성과 모멘트 피팅 측면에서 얼마나 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 Johnson-Taaffe 유형의 근사법을 임의의 순서로 일반화하여 모멘트 피팅과 적합성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 편향된 Cramér-Lundberg 모델에 대한 제안된 행렬 지수 근사법은 직접적인 모멘트 기반 패드 근사법이 실패할 경우에도 유효하고 적합한 파산 확률을 도출한다.
• α=2.5, β=1인 감마 청구 분포의 경우, 중간 영역에서 상대 오차가 0.003% 이하로 유지되며, Renyi 및 De Vylder 근사법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• Theorem 3 및 Theorem 5 근사법은 감마(2.5,1) 분포의 경우 x ≥ 1.5에서 상대 오차를 0.002% 미만으로 줄여 매우 높은 정확성을 입증한다.
• 혼합 지수 청구 분포의 경우, Theorem 1에서 유도된 근사법은 Remark 12의 근사법보다 항상 뛰어나며, 특히 σ=0.1일 때 상대 오차가 대부분 영역에서 0.005% 이하로 유지된다.
• Johnson-Taaffe 근사 가족은 임의의 순서로 일반화되어 임의의 수의 모멘트 피팅이 가능하면서도 적합성과 수렴성을 유지한다.
• 수치 결과는 새로운 근사법이 다양한 청구 분포와 편향 수준에서 높은 정확성을 유지하며, σ가 증가할수록 오차가 감소하는 경향을 보임을 보여준다.