[논문 리뷰] On maxima and ladder processes for a dense class of Levy processes

Martijn Pistorius|ArXiv.org|2005. 02. 09.

Probability and Risk Models참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 레비 과정의 첫 번째 통과 시간과 단계 과정 법칙을 단계형 분포를 가진 양의 점프를 갖는 마코프 추가 과정(MAP)에 통합함으로써 명시적인 방법으로 근사하는 방법을 개발한다. 비선형 고정점 반복을 통해 해결되는 행렬 위너-홉프 분해를 통해, 이 접근법은 기하급수적인 수렴 속도를 보이며, 첫 번째 통과 시간과 단계 과정 분포에 대한 명시적인 공식을 제공한다.

ABSTRACT

Consider the problem to explicitly calculate the law of the first passage time T(a) of a general Levy process Z above a positive level a. In this paper it is shown that the law of T(a) can be approximated arbitrarily closely by the laws of T^n(a), the corresponding first passages time for X^n, where (X^n)_n is a sequence of Levy processes whose positive jumps follow a phase-type distribution. Subsequently, explicit expressions are derived for the laws of T^n(a) and the upward ladder process of X^n. The derivation is based on an embedding of X^n into a class of Markov additive processes and on the solution of the fundamental (matrix) Wiener-Hopf factorisation for this class. This Wiener-Hopf factorisation can be computed explicitly by solving iteratively a certain fixed point equation. It is shown that, typically, this iteration converges geometrically fast.

연구 동기 및 목표

• 일반 레비 과정이 양의 수준 이상에서 첫 번째 통과 시간 분포를 명시적으로 근사하는 방법을 제공하는 것.
• 단계형 양의 점프를 갖는 레비 과정에 대한 상향 단계 과정의 법칙을 기술하는 것.
• 마코프 추가 과정의 일정한 클래스에서 위너-홉프 분해를 위한 계산적으로 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 행렬 위너-홉프 분해를 위한 반복적 해법의 기하 수렴을 확립하는 것.
• 레비 과정이 단계형 점프 분포를 갖는 경우에 대한 기존의 위너-홉프 분해 결과를 마코프 추가 과정에 통합함으로써 확장하는 것.

제안 방법

• 단계형 양의 점프를 갖는 레비 과정을 단계형 분포를 가진 유한 상태의 연속시간 마코프 과정과 흡수를 이용해 모델링한 마코프 추가 과정(MAP) 프레임워크에 통합한다.
• 첫 번째 통과 시간과 오버슈트의 결합 법칙을 기술하기 위해 행렬 위너-Hopf 분해를 활용한다.
• 흡수를 갖는 유한 상태의 연속시간 마코프 과정을 사용하여 양의 점프를 단계형 분포로 모델링한다.
• 비선형 고정점 방정식을 반복적으로 해결함으로써 행렬 위너-홉프 분해를 유도한다.
• 기본 행렬 위너-홉프 분해를 적용하여 첫 번째 통과 시간과 단계 과정 법칙에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 레비 지수와 척도 함수를 바탕으로 수축 사상 원리에 기반한 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 레비 과정의 첫 번째 통과 시간 분포는 단계형 양의 점프를 갖는 레비 과정의 수열을 통해 임의로 가까이 근사할 수 있는가?
• RQ2 마코프 추가 과정에 통합된 단계형 점프를 갖는 레비 과정에 대해 행렬 위너-홉프 분해의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 위너-홉프 분해를 위한 반복적 해법의 수렴 속도는 얼마나 빠르며, 어떤 조건에서 기하 수렴을 보이는가?
• RQ4 단계형 양의 점프를 갖는 레비 과정에 대해 상향 단계 과정의 명시적 법칙은 무엇인가?
• RQ5 제안된 통합 및 분해 접근법을 통해 첫 번째 통과 시간과 오버슈트의 결합 법칙을 명시적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 레비 과정의 첫 번째 통과 시간 $ T(a) $ 법칙은 단계형 양의 점프를 갖는 레비 과정 수열의 첫 번째 통과 시간 $ T^n(a) $ 를 통해 임의로 가까이 근사할 수 있다.
• 근사 과정인 $ X^n $ 의 $ T^n(a) $ 과 상향 단계 과정 법칙에 대한 명시적 표현이 도출되었다.
• 통합된 마코프 추가 과정에 대한 행렬 위너-홉프 분해는 반복적 고정점 알고리즘을 통해 해결되었다.
• 만약 $ \text{I\nd}X^{(-)}_{1} \rangle 0 $ 이면 반복이 기하급수적으로 빠르게 수렴하며, $ \kappa'_{X^{(-)}}(0^+) < 0 $ 이면 $ \tilde{\psi}^{\Phi(0)} $ 는 수축 사상이 된다.
• 위너-홉프 분해의 해는 비선형 사상의 유일한 고정점로 얻어져 안정성과 유일성을 보장한다.
• 수렴 속도는 기대값 $ \mathbb{E}[-I^{(-)}_{e(a)}] \Phi(a) \leq 1 $ 에 의해 결정되며, 이는 제시된 조건 하에서 기하 수렴을 보장한다.