[논문 리뷰] On maximal tori in the contactomorphism groups of regular contact manifolds

Eugene Lerman|ArXiv.org|2002. 12. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴acts, 단순연결, 정수 심플렉틱 구조를 가진 심플렉틱 다양체 $B$ 의 히스켈리언 최대 토러스의 전상사에 대한 중심 $S^1$-확장 사상 아래에서, 관련된 정규 접촉 다양체 $P$ 의 엄격한 접촉동형군 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 뿐 아니라 더 큰 접촉동형군 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 에서도 최대 토러스임을 증명한다. 핵심 기여는 심플렉틱에서 접촉 구조로 최대 토러스를 올리는 구축 방법으로, 접촉동형군 내에서 다양한 차원을 가진 최대 토러스를 갖는 새로운 예를 가능하게 한다.

ABSTRACT

By a theorem of Banyaga the group of diffeomorphisms of a manifold $P$ preserving a regular contact form $α$ is a central $S^1$ extension of the commutator of the group of symplectomorphisms of the base $B = P/S^1$. We show that if $T$ is a Hamiltonian maximal torus in the group of symplectomorphism of $B$, then its preimage under the extension map is a maximal torus not only in the group $\Diff(P, α)$ of diffeomorphisms of $P$ preserving $α$ but also in the much bigger group of contactomorphisms $\Diff (P, ξ)$, the group of diffeomorphism of $P$ preserving the contact distribution $ξ= \ker α$. We use this (and the work of Hausmann, and Tolman on polygon spaces) to give examples of contact manifolds $(P, ξ= \ker α)$ with maximal tori of different dimensions in their group of contactomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 정규 접촉 다양체 $P$ 의 접촉동형군 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내 최대 토러스의 구조를 이해하는 것.
• 기저 $B$ 의 심플렉토모피즘 군 내 최대 토러스와 $P$ 의 접촉동형군 내 최대 토러스 사이의 대응 관계를 확립하는 것.
• $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 는 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 보다 엄밀히 크지만, $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 내 최대 토러스가 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내 최대 토러스로 올라간다는 것을 보여주는 것.
• 이 대응 관계를 활용하여 접촉동형군 내에서 서로 다른 차원을 가진 최대 토러스를 갖는 접촉 다양체를 구성하는 것.

제안 방법

• Banyaga의 정리인 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 는 $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 의 중심적 $S^1$-확장임을 활용한다.
• 기저 $B$ 에서 토러스 $T$ 의 히스켈리언 작용과 그 모멘트 맵 $\Phi$ 를 이용하여, 공액 1형식 $\alpha$ 를 유지하는 방식으로 $P$ 에로의 작용을 공식 $X_P = X_B^h - \pi^*\Phi^X \cdot R$ 를 통해 올리는 방법을 사용한다.
• 고정점 $b_0 \in B^T$ 에 대해 $\Phi(b_0) = 0$ 으로 모멘트 맵을 정규화함으로써, 올린 작용이 $P$ 에서의 $T$-작용으로 내림내림됨을 보장한다.
• Cartan의 공식과 조건 $L_{X_P}\alpha = f\alpha$ 를 통해, $P$ 에서의 $S^1$-작용을 포함하는 임의의 토러스 $H \subset \mathrm{Diff}(P,\xi)$ 는 반드시 접촉형식 $\alpha$ 를 보존해야 하며, 따라서 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 내에 존재함을 증명한다.
• Hausmann–Knutson 및 Hausmann–Tolman 의 다각형 공간에 대한 예제를 활용하여, 접촉동형군 내에서 서로 다른 차원을 가진 최대 토러스를 갖는 접촉 다양체를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 심플렉틱 다양체의 심플렉토모피즘 군 내 최대 토러스는 관련된 정규 접촉 다양체의 접촉동형군으로 올라갈 수 있는가?
• RQ2 확장 사상 $\tau: \mathrm{Diff}(P,\alpha) \to \mathrm{Diff}(B,\omega)$ 에서 $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 내 최대 토러스의 전상사가 더 큰 군 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내에서 최대 토러스인가?
• RQ3 접촉동형군 내에서 서로 다른 차원의 최대 토러스를 갖는 접촉 다양체가 존재하는가?
• RQ4 기저 $B$ 에서의 토러스 작용이 접촉형식 $\alpha$ 를 보존하는 방식으로 $P$ 에서의 토러스 작용으로 올라가는 데 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 심플렉토모피즘 군 $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 내 최대 토러스 $T$ 의 전상사 $T'$ 은 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내 최대 토러스이다.
• 접촉동형군 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내에서 $P$ 의 $S^1$-작용을 포함하는 임의의 토러스 $H$ 는 반드시 접촉형식 $\alpha$ 를 보존해야 하며, 따라서 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 내에 속한다.
• 정수 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 가진 오각형 공간 $\mathbb{C}P^2 \# 3\overline{\mathbb{C}P}^2$ 에 대해, 해당하는 접촉 다양체 $P$ 는 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 내에서 차원 3의 최대 토러스를 갖는다.
• 일곱 각형 공간 $\mathrm{Pol}(1,1,2,2,3,3,3)$ 에 대해, 접촉동형군 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 는 차원 3, 4, 5의 최대 토러스를 포함한다.
• 이 구축 방법은 접촉동형군 내에서 서로 다른 차원을 가진 최대 토러스를 갖는 접촉 다양체의 명시적 예를 제공하며, 이러한 토러스의 다양성에 관한 질문을 해결한다.