[논문 리뷰] On Maximizing Sums of Non-Monotone Submodular and Linear Functions

Benjamin Qi|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비단조화 비음수 서모듈라 함수와 선형 함수의 합을 최대화하는 것을 목표로 하는 Regularized Unconstrained Submodular Maximization (RegularizedUSM) 및 Regularized Constrained Submodular Maximization (RegularizedCSM)에 대해 향상된 (α, β)-근사 알고리즘을 제시한다. 연속적 그레디언트 및 듀얼 그레디언트 기법을 확장하여 비단조화 서모듈라 함수에 일반적인 선형 정규화를 적용할 수 있도록 하며, 대칭 갭 기법을 사용하여 엄밀한 비근사 가능성 경계를 확립한다. 특히 β=1인 경우 0.408의 비근사 가능성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the problem of Regularized Unconstrained Submodular Maximization (RegularizedUSM) as defined by Bodek and Feldman [BF22]. In this problem, you are given a non-monotone non-negative submodular function $f:2^{\mathcal N} o \mathbb R_{\ge 0}$ and a linear function $\ell:2^{\mathcal N} o \mathbb R$ over the same ground set $\mathcal N$, and the objective is to output a set $T\subseteq \mathcal N$ approximately maximizing the sum $f(T)+\ell(T)$. Specifically, an algorithm is said to provide an $(α,β)$-approximation for RegularizedUSM if it outputs a set $T$ such that $\mathbb E[f(T)+\ell(T)]\ge \max_{S\subseteq \mathcal N}[α\cdot f(S)+β\cdot \ell(S)]$. We also study the setting where $S$ and $T$ are subject to a matroid constraint, which we refer to as Regularized Constrained Submodular Maximization (RegularizedCSM). For both RegularizedUSM and RegularizedCSM, we provide improved $(α,β)$-approximation algorithms for the cases of non-positive $\ell$, non-negative $\ell$, and unconstrained $\ell$. In particular, for the case of unconstrained $\ell$, we are the first to provide nontrivial $(α,β)$-approximations for RegularizedCSM, and the $α$ we obtain for RegularizedUSM is superior to that of [BF22] for all $β\in (0,1)$. In addition to approximation algorithms, we provide improved inapproximability results for all of the aforementioned cases. In particular, we show that the $α$ our algorithm obtains for RegularizedCSM with unconstrained $\ell$ is tight for $β\ge \frac{e}{e+1}$. We also show 0.478-inapproximability for maximizing a submodular function where $S$ and $T$ are subject to a cardinality constraint, improving the long-standing 0.491-inapproximability result due to Gharan and Vondrak [GV10].

연구 동기 및 목표

• 비단조화 서모듈라 함수와 선형 함수의 합을 최대화하는 RegularizedUSM 및 RegularizedCSM에 대해 향상된 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 특히 비제약 선형 함수에 대해 알려진 근사 보장과 비근사 가능성 경계 사이의 격차를 메우는 것.
• 특히 비제약 선형 항에 대해 대칭 갭 기법을 사용하여 더 엄밀한 비근사 가능성 결과를 제공하는 것.
• 기존의 연속적 그레디언트 및 듀얼 그레디언트 기법을 비단조화 서모듈라 함수에 일반적인 선형 정규화를 적용할 수 있도록 확장하는 것.
• 특히 선형 함수가 양수 또는 음수일 수 있는 경우를 고려하여 RegularizedUSM의 근사 가능성 한계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 비단조화 서모듈라 함수에 일반적인 선형 정규화를 적용할 수 있도록 연속적 그레디언트 및 듀얼 그레디언트 프레임워크를 확장하는 것.
• 수정된 목적 함수와 대칭 갭 분석을 사용하여 비근사 가능성 경계를 유도하며, 특히 비제약 선형 항에 초점을 맞추는 것.
• Feldman [Fel18]의 영향을 받은 변형 기법을 적용하여 알고리즘 파ip라인 내 추측 단계에 대한 의존도를 제거하는 것.
• 비근사 가능성 증명을 위해 일반화된 하이퍼엣지 구성 기법을 하드 인스턴스로 사용하며, 특히 β=1인 경우에 초점을 맞추는 것.
• 비율 approximation/최적값을 최소화하기 위해 매개변수 p, q, κ 및 선형 항 lp, lq에 대해 최적화하여 비근사 가능성 경계를 도출하는 것.
• 지향된 컷 함수의 점근적 분석(k→∞)을 통해 목적 함수의 연속적 리프레젠테이션을 근사하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 선형 함수를 가진 RegularizedUSM에 대해 (0.5, β)-근사 알고리즘을 얻을 수 있는가?
• RQ2 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedUSM에 대해 (ϵ, 1)-근사 알고리즘은 존재하는가?
• RQ3 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedUSM에서 (α, 1)-근사 알고리즘의 최적 α 값은 무엇인가?
• RQ4 대칭 갭 기법을 더 정교하게 다듬어 비제약 선형 항에 대해 근사 가능성과 비근사 가능성 사이의 격차를 메울 수 있는가?
• RQ5 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedCSM에 대해 엄밀한 비근사 가능성 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedUSM에 대해 (0.4392, 1)-비근사 가능성 결과를 도출하여 이전의 0.478 비근사 가능성 경계를 향상시켰다.
• 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedUSM에 대해 β=1인 경우 0.408의 비근사 가능성 결과를 도출하였으며, 이는 해당 케이스에 대해 알려진 가장 엄밀한 하한이다.
• 모든 β∈(0,1)에 대해 Bodek과 Feldman [BF22]보다 더 뛰어난 α-근사 성능을 제공하며, 특히 비제약 선형 항에 대해 근사 인자가 향상된다.
• 비제약 선형 함수를 가진 RegularizedCSM에 대해선 α가 β≥e/(e+1)일 때 엄밀한 (α, β)-근사 알고리즘을 제시하며, 이는 첫 번째 비자명한 근사 알고리즘이다.
• 대칭 갭 기법을 사용하여 비단조화 CSM의 카디널리티 제약 조건 하에서의 비근사 가능성 경계를 0.491에서 0.478로 향상시켰다.
• RegularizedUSM에 대해 (1, ε)-비근사 가능성 결과는 여전히 열려 있으나, 그러한 경계가 달성 가능하지 않다는 강력한 증거를 제공한다.