[논문 리뷰] On McKay Quiver and Covering Spaces

Jin Yun Guo|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한부분군 $G$의 McKay 쿼버가 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$에 속할 때, 모든 $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$의 기약 표현이 $G$로 연장 가능할 조건 하에, $N$의 McKay 쿼버 위의 정규 코팅으로 구성될 수 있음을 보여준다. 또한 자연스러운 맵을 통한 $G$의 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$에의 통합은 Nakayama 번역을 통해 각 정점에 고리(loop)를 추가함으로써 새로운 McKay 쿼버를 생성하며, 이러한 구성은 표현 이론과 이론물리학에서 알려진 쿼버, 예를 들어 $\tilde{A}_n$과 D-brane 쿼버를 설명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the relationship between the McKay quivers of a finite subgroups $G$ of special linear groups general linear groups, via some natural extension and embedding. We show that the McKay quiver of certain extension of a finite subgroup $G$ of $\mathrm{SL}(m,\mathbb C)$ in $\mathrm{GL}(m,\mathbb C)$ is a regular covering of the McKay quiver of $G$, and when embedding $G$ in a canonical way into $\mathrm{GL}(m-1,\mathbb C)$, the new McKay quiver is obtained by adding an arrow from the Nakayama translation of $i$ back to $i$ for each $i$. We also show that certain interesting examples of McKay quivers are obtained in these two ways.

연구 동기 및 목표

• 유한부분군 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$와 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$의 McKay 쿼버 간의 관계를 명확히 하기.
• 유한 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$ 부분군의 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 확장인 McKay 쿼버가 원래 쿼버 위의 정규 코팅임을 보여주기.
• 유한 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 군을 자연스러운 맵을 통해 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$에 통합하면 Nakayama 번역을 통해 각 정점에 고리를 추가함으로써 새로운 McKay 쿼버가 생성됨을 보여주기.
• 표현 이론과 초끈이론에서 알려진 쿼버, 예를 들어 $\tilde{A}_n$과 D-brane 쿼버를 통합적으로 구성하기.
• 이러한 구성들을 통해 McKay 쿼버의 보편 코팅을 실현할 수 있으며, 표현 이론과 위상수학을 연결함을 확립하기.

제안 방법

• $G$에서 $\mathbb{C}^*$로의 행렬식 준동형사상 $\mathrm{det}: G \to \mathbb{C}^*$를 사용하여 $G/N$이 순환임을 보이기, 여기서 $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$.
• $N$의 모든 기약 표현이 $G$로 연장 가능하다는 조건을 적용하여, $G/N$을 그룹으로 하는 $G$의 McKay 쿼버에서 $N$의 McKay 쿼버로의 정규 코팅 사상 구축하기.
• $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$를 자연스러운 맵 $f$를 통해 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$로 통합하는 정의하기.
• 새로운 McKay 쿼버가 각 정점 $i$의 Nakayama 번역 $\tau(i)$로 다시 돌아오는 화살표를 추가함으로써 얻어짐을 보여주기.
• 보편 코팅 공간 구성법을 사용하여 외대수 위의 왜곡군 대수의 표현 이론과 연결하기.
• 이러한 구성들을 적용하여 알려진 쿼버, 예를 들어 $\tilde{A}_n$의 이중 쿼버와 D-brane 물리학에서의 쿼버 생성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한부분군 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$의 McKay 쿼버가 $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$의 McKay 쿼버 위의 정규 코팅이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유한부분군 $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$를 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$에 통합하면 그 McKay 쿼버는 어떻게 변하는가?
• RQ3 Nakayama 번역은 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ 부분군의 McKay 쿼버를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 아핀 다이킨 다이어그램 $\tilde{A}_n$의 이중 쿼버는 $\mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$ 부분군의 McKay 쿼버로부터 체계적으로 유도될 수 있는가?
• RQ5 이러한 구성들은 D-brane 물리학에서 나타나는 McKay 쿼버, 예를 들어 $\mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$의 경우를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• $N = G \cap \mathrm{SL}(m,\mathbb{C})$의 모든 기약 표현이 $G$로 연장 가능할 경우, $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$의 McKay 쿼버는 $N$의 McKay 쿼버 위의 정규 코팅이 되며, 코팅군은 $G/N$이다.
• $G \leq \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$가 자연스러운 맵 $f$를 통해 $\mathrm{SL}(m+1,\mathbb{C})$에 통합되면, 결과적으로 각 정점 $i$에서 그의 Nakayama 번역 $\tau(i)$로 돌아오는 고리를 추가함으로써 새로운 McKay 쿼버가 유도된다.
• 아핀 다이킨 다이어그램 $\tilde{A}_{n-1}$의 이중 쿼버는 $\mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$에서의 자명한 군을 확장하고 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$에 통합함으로써 구성된 유한부분군의 McKay 쿼버로 나타난다.
• $\mathbb{P}^{1,1,1,1,2}$의 D-brane 이론에서의 McKay 쿼버는 $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$에서의 자명한 군을 6차 순환군으로 확장하고, $\mathrm{GL}(4,\mathbb{C})$에서의 군으로 확장한 후 $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$에 통합함으로써 Nakayama 번역을 통해 고리를 추가함으로써 구성된다.
• $\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$의 유한부분군에 대해 3-McKay 쿼버 중 4개의 정점만을 가지는 것은, $\tilde{A}_1$의 이중 쿼버에 Nakayama 번역 구성법을 적용함으로써 얻을 수 있다.
• 이러한 방법들을 통해 McKay 쿼버의 보편 코팅을 구성할 수 있으며, 이는 단순연결된 쿼버를 생성하여 $m=2$의 경우에 이전 결과들을 설명한다.