[논문 리뷰] On mean values of Dirichlet series

Ilgar Sh. Jabbarov|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 16.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 복소계수를 가진 새로운 딜리클레 급수의 클래스를 제안하며, 이 급수의 자연수 거듭제곱이 잘 정의된 평균값을 갖는 반평면을 정의한다. 만약 급수와 그 역함수 모두 이 클래스에 속한다면, 평균값의 반평면은 영이 없음을 증명하며, 리만 제타함수를 포함한 광범위한 L-함수에 대해 평균값 이론을 확장하고 린델뢰프 가설의 유사판을 수립한다.

ABSTRACT

In this paper we study the mean values and zeroes of Dirichlet series of a view $\sum_{n}a_n n^{-s}$ with complex coefficients. There was introduced some class of Dirichlet series including such widely used series as the Riemann zeta-function, Dirichlet L-functions and ets. A new point of view is introduced in defining of a half plane of mean values. It was proven that in the half plane of mean values any natural degree of the series of an inroduced class, being regular in this half plane,has a mean value. In particular, the analog of Lindelof Hypothesis is true. If, in addition, the Dirichlet series f(s) belongs to this class with the function f(s)^{-1} then the half plane of mean values was proved to be free from the zeroes.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타함수와 딜리클레 L-함수를 포함한 중요한 L-함수를 일반화하는 새로운 딜리클레 급수의 클래스를 정의하는 것.
• 이 급수들에 대해 '평균값의 반평면'이라는 새로운 개념을 도입하는 것.
• 이 클래스에 속하는 급수의 모든 자연수 거듭제곱이 그 평균값 반평면 내에서 잘 정의된 평균값을 갖는다는 것을 확립하는 것.
• 만약 급수 f(s)와 그 역함수 f(s)⁻¹이 모두 이 클래스에 속한다면, 평균값의 반평면이 영이 없음을 증명하는 것.

제안 방법

• 논문은 복소계수를 가진 딜리클레 급수 ∑aₙn⁻ˢ의 클래스를 정의하며, 이는 리만 제타함수와 딜리클레 L-함수를 포함한다.
• 급수와 그 거듭제곱의 평균값이 존재하는 반평면을 결정하는 새로운 기준을 제안한다.
• 절대수렴 반평면 및 그 외부에서의 정규성과 수렴성 성질에 기반한 분석을 수행한다.
• 복소해석 기법을 활용하여 급수와 그 거듭제곱의 행동을 연구하며, 특히 평균값 존재성과 영 분포에 중점을 둔다.
• 역함수 f(s)⁻¹이 동일한 반평면에서 정칙이 되도록 요구하여 영이 없는 성질을 확보한다.
• 부분합에 대한 추정과 급수의 적분 표현을 활용하여 평균값 존재성과 영이 없는 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건이 급수의 자연수 거듭제곱이 반평면 내에서 평균값을 갖는 데 보장하는가?
• RQ2 광범위한 딜리클레 급수의 클래스에 대해 일반화된 평균값의 반평면을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 언제 평균값의 반평면이 영을 포함하지 않는가?
• RQ4 이 프레임워크는 L-함수에 대한 린델뢰프 가설을 어느 정도 일반화하는가?
• RQ5 이 클래스에 속하는 딜리클레 급수의 역함수가 동일한 반평면에서 정칙일 수 있으며, 그 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 클래스에 속하는 딜리클레 급수의 모든 자연수 거듭제곱은 그 평균값 반평면 내에서 잘 정의된 평균값을 갖는다.
• 이 클래스의 모든 급수에 대해 린델뢰프 가설의 유사판이 성립하며, 평균값에 대한 성장 조건이 확인된다.
• 만약 급수 f(s)와 그 역함수 f(s)⁻¹이 모두 이 클래스에 속한다면, 평균값의 반평면에는 영이 존재하지 않는다.
• 평균값의 반평면은 거듭제곱과 역함수를 취할 때도 불변하며, 역함수가 정칙일 경우에 한하여 성립한다.
• 이 클래스는 리만 제타함수와 딜리클레 L-함수를 포함하여 광범위한 적용 가능성을 보인다.
• 영이 없는 결과는 임계대역을 넘어서 전체 평균값 반평면에까지 확장된다.