[논문 리뷰] On measure and Hausdorff dimension of Julia sets for holomorphic Collet--Eckmann maps

Feliks Przytycki|arXiv (Cornell University)|1995. 09. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 임의의 임계값들에 대한 평균 분리 조건을 추가로 만족하는 해석적 Collet–Eckmann 사상에 대해, 칼라주 세트의 하우스도르프 차원은 정확히 2보다 작고, 이를 따라 미분 가능(리만) 측도가 존재하지 않음을 증명한다. 핵심 결과는 비서브지수 확장이 아닌 유리 함수에 대해 칼라주 세트의 하우스도르프 차원이 항상 2가 아니라는 질문을 비숍과 루비치가 제기한 바를 해결함으로써 이루어지며, 이는 칼라주 세트가 전체 구면이 아닐 경우에도 해당된다.

ABSTRACT

Let $f:\bar\bold C o\bar\bold C$ be a rational map on the Riemann sphere , such that for every $f$-critical point $c\in J$ which forward trajectory does not contain any other critical point, $|(f^n)'(f(c))|$ grows exponentially fast (Collet--Eckmann condition), there are no parabolic periodic points, and else such that Julia set is not the whole sphere. Then smooth (Riemann) measure of the Julia set is 0. For $f$ satisfying additionally Masato Tsujii's condition that the average distance of $f^n(c)$ from the set of critical points is not too small, we prove that Hausdorff dimension of Julia set is less than 2. This is the case for $f(z)=z^2+c$ with $c$ real, $0\in J$, for a positive line measure set of parameters $c$.

연구 동기 및 목표

• 1995년 MSRI에서 비숍과 루비치가 제기한 질문을 해결함: 연결된 칼라주 세트를 가진 모든 비서브지수 확장 유리 함수는 반드시 하우스도르프 차원 2를 가져야 하는가?
• 비균일 하이퍼볼릭(즉, Collet–Eckmann) 사상의 광범위한 클래스에 대해, 칼라주 세트의 하우스도르프 차원이 정확히 2보다 작다는 것을 증명함.
• Collet–Eckmann 조건과 평행점의 부재 조건 하에서, 칼라주 세트의 리만(스무스) 측도가 0임을 증명함.
• 임계점으로부터의 평균 분리 조건인 Tsujii 조건이 pacim(확률의 절대연속 불변 측도)의 존재를 보장함을 보여주며, 이는 차원 경계의 핵심 요소임.

제안 방법

• Collet–Eckmann 조건과 Tsujii 조건 하에서 pacim의 존재를 분석하기 위해 α-동형 측도와 전이 연산자를 사용함.
• 전이 연산자를 통한 스펙트럼 갭 방법을 적용하여, 불변 측도의 밀도가 동형 측도에 대해 일관된 하한을 가지도록 보임.
• 역지점에 의한 작은 구의 직전 이미지들의 지름이 지수적으로 감소함을 증명하기 위해, 왜곡 제어와 칼라주 세트 위의 균일한 하이퍼볼릭 구조를 사용함.
• Besicovitch 덮개 정리를 적용하여, 스무스 측도가 양수일 경우의 모순을 이끌어내며, 이러한 측도는 양의 리아풀로프 지수를 가진 pacim과 모순됨을 보임.
• 반복된 임계값들로부터의 역거리의 적분을 포함하는 핵심 부등식 (0.3)을 증명함으로써, Tsujii 조건 하에서 pacim의 존재를 보장함.
• HD(J) = 2일 경우 2-동형 측도가 존재함을 이용하고, Tsujii 조건 하에서 이 측도가 필요한 적분 조건 (0.3)을 만족함을 보여, 이는 pacim의 존재를 암시하며, 이는 Theorem A의 스무스 측도 0 결과와 모순됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비서브지수 확장이 아닌 유리 함수 중 연결된 칼라주 세트를 가진 모든 경우에 하우스도르프 차원이 정확히 2여야 하는가? (비숍과 루비치의 질문)
• RQ2 Collet–Eckmann 조건과 임계값들로부터의 추가 평균 분리 조건을 만족하는 사상에 대해, 칼라주 세트의 하우스도르프 차원이 정확히 2보다 작을 수 있는가?
• RQ3 평행점의 주기적 점이 없고 Collet–Eckmann 조건이 성립할 경우, 칼라주 세트의 리만 측도는 0이 되는가?
• RQ4 칼라주 세트 위의 2-동형 측도가 어떤 조건에서 적분 조건 (0.3)을 만족하는가? 이는 pacim의 존재를 보장함.
• RQ5 Tsujii 조건이 Collet–Eckmann 사상의 칼라주 세트에 대해 하우스도르프 차원이 2보다 작다는 것을 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• Collet–Eckmann 조건을 만족하고 평행점이 없으며 J(f) ≠ ℂ인 유리 함수에 대해, 칼라주 세트의 리만 측도는 0이다.
• 추가로 Tsujii 조건 (0.2)를 만족할 경우, 칼라주 세트의 하우스도르프 차원은 정확히 2보다 작다.
• Tsujii 조건은 칼라주 세트 위의 2-동형 측도가 적분 조건 (0.3)을 만족함을 암시하며, 이는 pacim의 존재를 보장한다.
• 실수 c ∈ [−2, 0]인 f(z) = z² + c의 가속도에서, 조건 (0.1)과 (0.2)는 양의 측도를 가진 매개변수 c의 집합에서 성립한다.
• 양의 리아풀로프 지수를 가진 pacim의 존재는 Theorem A의 결론(스무스 측도 0)과 모순되며, 따라서 Tsujii 조건이 성립할 경우 HD(J) < 2임을 증명함.
• 증명은 HD(J) = 2이면 2-동형 측도가 존재하고, 이 측도가 (0.3)을 만족함을 보여, 이는 pacim의 존재를 이끌어내며, 이는 Theorem A의 스무스 측도 0 결과와 모순됨을 근거로 한다.