[논문 리뷰] On minimal energy solutions to certain classes of integral equations related to soliton gases for integrable systems

Arno B. J. Kuijlaars, Alexander Tovbis|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 11.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 27인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 잠재적 이론을 사용하여 통합 시스템에서 솔리톤 기체 밀도를 모델링하는 적분방정식의 해가 존재하고 유일하며 비음수임을 증명한다. 해 밀도 $ u(z) \geq 0 $는 절대 연속이며, 집중형 NLS 및 KdV 방정식의 비선형 분산 관계를 만족한다. 해를 초월하여 리만 곡면 위의 유리형 미분을 통해 응축 상태의 경우 정확한 해를 유도한다.

ABSTRACT

We prove existence, uniqueness and non-negativity of solutions of certain integral equations describing the density of states $u(z)$ in the spectral theory of soliton gases for the one dimensional integrable focusing Nonlinear Schr\"{o}dinger Equation (fNLS) and for the Korteweg de Vries (KdV) equation. Our proofs are based on ideas and methods of potential theory. In particular, we show that the minimizing (positive) measure for certain energy functional is absolutely continuous and its density $u(z)\geq 0$ solves the required integral equation. In a similar fashion we show that $v(z)$, the temporal analog of $u(z)$, is the difference of densities of two absolutely continuous measures. Together, integral equations for $u,v$ represent nonlinear dispersion relation for the fNLS soliton gas. We also discuss smoothness and other properties of the obtained solutions. Finally, we obtain exact solutions of the above integral equations in the case of a KdV condensate and a bound state fNLS condensate. Our results is a first step towards a mathematical foundation for the spectral theory of soliton and breather gases, which appeared in work of El and Tovbis, Phys. Rev. E, 2020. It is expected that the presented ideas and methods will be useful for studying similar classes of integral equation describing, for example, breather gases for the fNLS, as well as soliton gases of various integrable systems.

연구 동기 및 목표

• 통합 시스템에서 솔리톤 및 브리더 기체의 스펙트럼 이론에 수학적 기초를 마련하는 것, 특히 집중형 비선형 슈뢰딩거(fNLS) 및 코르티제-데브리스(KdV) 방정식에 대해.
• 밀도 상태 $ u(z) $와 그 시간적 유사체 $ v(z) $를 묘사하는 적분방정식의 해가 존재하고 유일하며, $ u(z) \geq 0 $가 $ \Gamma^+ $에서 성립함을 증명하여 물리적 해석으로서 상태 밀도로서의 의미를 확보하는 것.
• 고전적 잠재적 이론의 변분 방법을 제3종 프레드홀름 적분방정식(여기서 $ \sigma \geq 0 $)에 확장하여, 특히 $ \sigma \equiv 0 $인 경우 솔리톤 응축 상태에 해당하는 경우를 다루는 것.
• 다양한 $ \sigma $ 및 경로 $ \Gamma^+ $의 정규성 조건 하에서 최소화자 $ \mu^* $의 부드러움과 기하학적 지지의 특성을 규명하는 것.
• 응축 상태($ \sigma \equiv 0 $)의 경우, 해 $ u(z) $가 초타원 리만 곡면 위의 정규화된 준모멘타 미분과 관련이 있음을 보여주어 정확한 해를 도출하는 것.

제안 방법

• 잠재 에너지 항 $ \sigma u^2 \, d\lambda $를 포함하는 수정된 에너지 기능 $ J_\sigma(\mu) $를 정의하여, 오일러-라그랑주 방정식이 원하는 적분방정식 $ G\mu + \sigma u = \phi $와 일치하도록 하는 것.
• 상반평면 $ \mathbb{C}^+ $에서 잠재적 이론을 적용하여 로그 적분을 그린 잠재력 $ G\mu(z) = \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{z - w}{z - \bar{w}} \right| \, d\mu(w) $로 해석하며, 이는 초조합함수이며 무한대에서 0이 된다.
• 적당한 $ \lambda $, $ \Gamma^+ $, $ \sigma $, $ \phi $ 조건 하에서 $ J_\sigma $의 최소화자 $ \mu^* $의 존재성과 유일성을 증명하며, $ \sigma \mu^* \ll \lambda $를 보장하는 것.
• 변분 부등식과 거의 전역적( quasi-everywhere, q.e.) 등가 개념을 사용하여 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 가 $ \Gamma^+ $에서 $ \mu^* $-거의 모든 곳에서 성립함을 보이고, $ \phi $가 초조합함수일 경우 이를 전체 $ \Gamma^+ $로 확장하는 것.
• 문제를 라플라스 방정식의 딜리클레 문제로 환원하여 타원형 정규성 이론을 적용함으로써 $ \Gamma^+ $의 해석적 호에서 $ u^* $의 부드러움을 증명하는 것.
• 응축 상태($ \sigma \equiv 0 $)의 경우, $ u(z) $가 초타원 리만 곡면 $ \mathcal{R} $ 위의 정규화된 준모멘타 미분 $ dp $에 비례함을 보여주어 $ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $를 유도하는 것. 여기서 $ P $는 실수 계수를 가진 모닉 기수 다항식이고 $ R $은 분岐절단 함수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 $ \sigma \geq 0 $에 대해, $ \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{w - \bar{z}}{w - z} \right| u(w) \, d\lambda(w) + \sigma(z)u(z) = \operatorname{Im} z $ 형태의 적분방정식이 $ \Gamma^+ $에서 유일하고 비음수인 해 $ u(z) \geq 0 $를 가지는가?
• RQ2 수정된 에너지 기능 $ J_\sigma $의 최소화자 $ \mu^* $가 오직 $ \mu^* $-거의 모든 곳에서가 아니라 전체 $ \Gamma^+ $에서 오일러-라그랑주 방정식 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 를 만족함을 보일 수 있는가? 특히 $ \phi $가 초조합함수일 경우에 대해.
• RQ3 최소화자 $ \mu^* $의 지지의 기하학적 및 부드러움 구조는 어떠한가? $ \sigma $와 경로 $ \Gamma^+ $의 정규성 조건이 $ u^* $의 부드러움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 솔리톤 응축 상태($ \sigma \equiv 0 $)의 경우, 해 $ u(z) $가 리만 곡면 위의 유리형 미분과 관련이 있으며, 이를 통해 정확한 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 fNLS 솔리톤 기체의 해가 KdV 솔리톤 기체의 해와 어떻게 관련되어 있으며, 특히 응축 한계에서의 관계는 어떠한가? KdV 해는 fNLS 해로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 수정된 에너지 기능 $ J_\sigma $의 최소화는 $ \Gamma^+ $에 대해 유일한 양의 Borel 측도 $ \mu^* $를 유도하며, $ \sigma \mu^* \ll \lambda $를 만족한다. 또한 밀도 $ u^* = d\mu^*/d\lambda $는 $ \mu^* $-거의 모든 곳에서 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 를 만족한다.
• 만일 $ \phi $가 $ \mathbb{C}^+ $에서 양수이고 연속적이며 초조합함수이면, 변분 조건 $ G\mu^* = \phi $ 는 $ \Gamma^+ \setminus \operatorname{supp}(\mu^*) $에서 성립하며, 전체 $ \mathbb{C}^+ $에서 $ G\mu^* \leq \phi $ 가 성립하여 전역 일관성을 확보한다.
• $ \Gamma^+ $ 내의 $ C^\infty $ 부드러운 호 $ \Gamma_1 $에서 $ \sigma \equiv 0 $일 경우, 문제를 딜리클레 문제로 환원하고 타원형 정규성 이론을 적용함으로써 $ u^* $가 $ C^\infty $ 부드럽다는 것을 증명할 수 있다.
• 결합 상태 fNLS 응축 상태($ \sigma \equiv 0 $, $ \Gamma^+ \subset i\mathbb{R} $)의 경우, 해 $ u(z) $는 정규화된 준모멘타 미분 $ dp $에 비례하며, $ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $로 표현되며, 여기서 $ P(z) $는 실수 계수를 가진 차수 $ 2N+1 $의 모닉 기수 다항식이다.
• fNLS 응축 상태의 해 $ u(z) $는 모든 $ B $-주기에서 $ \operatorname{Re} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ 및 $ \operatorname{Im} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ 를 만족하여, 이것이 정규화된 유리형 미분임을 확인한다.
• KdV 응축 상태의 경우, $ u_{\text{KdV}}(z) = \frac{1}{2} u_{\text{fNLS}}(iz) $ 가 $ \Gamma^+ \subset \mathbb{R} $에서 성립하며, 시간 방정식 (1.2)의 해는 양쪽 시트에서 무한대에서 $ O(z^2) $ 행동을 보이는 유리형 미분의 밀도로 표현된다.