[논문 리뷰] On minimax theorems for lower semicontinuous functions in Hilbert spaces

Ewa M. Bednarczuk, Monika Syga|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 10.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트성이나 연결성 조건 없이 하일버트 공간 위의 하향연속 함수에 대해 최소최대 정리를 수립한다. 새로운 특성화 방법으로 추상적 $Φ$-하향미분과 $Φ_{lsc}$-볼록 함수의 교차성질을 사용하여 최소최대 등식을 기술하며, 특정 수준에서 $Φ$-하향미분을 통해 필요 및 충분 조건을 제시한다.

ABSTRACT

We prove minimax theorems for lower semicontinuous functions defined on a Hilbert space. The main tool is the theory of $Φ$-convex functions and sufficient and necessary conditions for the minimax equality to hold for $Φ$-convex functions. These conditions are expressed in terms of abstract $Φ$-subgradients.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트성이나 연결성 가정 없이 하일버트 공간 위의 하향연속 함수에 대해 최소최대 정리를 수립하기 위해.
• 추상적 $Φ$-하향미분의 교차성질을 이용해 최소최대 등식을 특성화하기 위해.
• 기존의 $Φ$-볼록 함수에 대한 최소최대 결과를 일반화하기 위해, 임의의 지지함수 대신 $Φ$-하향미분을 조건으로 표현하기 위해.
• 최소최대 등식에 대한 필요 및 충분 조건을 $Φ_{lsc}$-하향미분과 $Φ_{conv}$-하향미분을 통해 기술하기 위해.
• 특정 수준에서의 교차성질을 활용하여 이전의 최소최대 결과를 통합 및 일반화하기 위해.

제안 방법

• 지지집합과 $Φ$-하향미분을 통해 정의된 $Φ$-볼록 함수를 사용한 추상 볼록 해석학을 활용한다.
• 최소최대 등식을 특성화하기 위해 교차성질(정의: $[\varphi_1 < \alpha] \cap [\varphi_2 < \alpha] = \emptyset$)을 적용한다.
• $Φ_{lsc}$-볼록성, 즉 $\varphi(x) = -a\|x\|^2 + \langle \ell, x \rangle + c$를 사용하여 하향연속 함수를 아래에서 이차함수로 유계화하는 모델을 구성한다.
• 특정 점에서의 하향미분으로 임의의 지지함수를 대체하기 위해 $Φ$-하향미분 이론을 활용한다.
• 칸토어 교차정리(의사결정적 교차정리)를 적용하여 하향집합의 공통 점을 구성함으로써, 수준 $\beta$에서의 교차성질 유도를 가능하게 한다.
• 최소최대 등식과 수준 $\inf_{x} \sup_{y} a(x,y)$ 이하에서 $Φ$-하향미분이 교차성질을 만족하는 것의 등가성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교차성질에서 임의의 지지함수 대신 $Φ$-하향미분을 사용하여 최소최대 등식을 특성화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 $Φ_{lsc}$-볼록 함수가 컴팩트성이나 연결성 조건 없이 최소최대 등식을 만족하는가?
• RQ3 수준 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$에서의 교차성질은 $Φ$-하향미분이 동일한 성질을 만족하는 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 최소최대 등식이 수준 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$에서 모든 수준에서 $Φ$-하향미분이 교차성질을 만족하는 것과 등가가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 수준 $\beta$에서의 교차성질이 $Φ$-하향미분을 통해 $\alpha < \beta$로 이동할 때 유지되는가?

주요 결과

• 최소최대 등식이 성립함과 동시에, 모든 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$에 대해, $y_1, y_2 \in Y$, $x_1 \in \text{dom}(a(\cdot,y_1))$, $x_2 \in \text{dom}(a(\cdot,y_2))$, 그리고 $\varphi_1 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_1)(x_1)$, $\varphi_2 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_2)(x_2)$가 존재하여, $\varphi_1$과 $\varphi_2$가 수준 $\alpha$에서 교차성질을 만족할 때 등가이다.
• 반사적 바나흐 공간 위의 $\Phi_{conv}$-볼록 함수에 대해, 최소최대 등식은 모든 수준 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$에서 $\Phi_{conv}$-하향미분이 교차성질을 만족하는 것과 등가이다.
• 수준 $\beta = \inf_x \sup_y a(x,y)$에서의 교차성질은 소규모 변화에 대해 보존되며, 이는 칸토어 교차정리를 통해 하향집합의 공통 점을 구성함으로써 가능해진다.
• 어떤 $\gamma > \beta$에 대해 $\bar{y} \in Y$가 존재하여 $\inf_x a(x,\bar{y}) = \sup_y \inf_x a(x,y)$이고, $[a(\cdot,\tilde{y}) \leq \gamma]$가 유계이면, 하향미분을 통한 교차성질 적용이 가능하다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 최소최대 등식과 $\varepsilon$-하향미분이 수준 $\alpha$에서 교차성질을 만족하는 것의 등가성은 근사 하향미분으로 일반화된다.
• 논문은 $\Phi_{lsc}$-볼록성이 하일버트 공간 위의 하향연속 함수가 $\Phi_{lsc}$에 속하는 함수들의 점별 최대값으로 표현 가능함을 보여주며, 이는 엄격한 하한이 $\Phi_{lsc}$에 존재할 경우에 충분하다.