[논문 리뷰] On Mittag-Leffler function and associated polynomials

D. Babusci, G. Dattoli외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 15.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분수적 미분학과의 연관성을 다루며 멏타-레플레르 함수(Mittag-Leffler function, MLF)를 조사하고, 새로운 종류의 분수적 열화 다항식과 분수적 라거르 다항식을 도입한다. 운영 해석학과 적분 표현을 사용하여 생성 함수, 미분 방정식, 적분 항등식을 유도하며, MLF, 라이트 함수, 고전적 직교 다항식 간의 연결 고리를 확립한다. 주요 결과로는 $ E_\alpha(-x^2) $ 및 $ W_{\alpha,\beta}(-x^2) $의 적분에 대한 폐쇄형 표현이 포함되어 있다.

ABSTRACT

The Mittag-Leffler function plays a role of central importance in the theory of fractional derivatives. In this brief note we discuss the properties of this function and its connection with the Wright-Bessel functions and with a new family of associated heat polynomials.

연구 동기 및 목표

• 분수 도함수를 위한 심화된 분석적 및 계산 도구의 증가하는 수요를 충족시키기 위해 멏타-레플레르 함수(MLF)와 그 관련 다항식을 연구한다.
• MLF와 라이트-베셀 함수 간의 연결 고리를 설정하고, 비정상적 확산에 적용 가능한 새로운 종류의 분수 다항식 가족을 정의한다.
• MLF 관련 다항식에 대한 적분 표현과 생성 함수를 도출하기 위한 운영 기법을 개발한다.
• 분수 도함수와 운영 해석학을 사용하여 고전적 다항식 가족(Hermite, 라거르 등)을 분수 차수로 일반화한다.
• $ E_\alpha(-x^2) $ 및 $ W_{\alpha,\beta}(-x^2) $를 포함하는 적분에 대한 폐쇄형 표현을 제공하여 가우시안 유형 함수 분석을 확장한다.

제안 방법

• 분수적 포커-플랑크 방정식을 통해 진화 연산자 $ E_\alpha(k_\alpha t^\alpha \partial_x^2) $ 를 사용하여 분수적 열화 다항식 $ {}_{\alpha}H_n(x,y) $ 를 정의한다.
• 생성 함수 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\xi^n}{n!} {}_{\alpha}H_n(x,y) = E_\alpha(\xi^2 y) e^{\xi x} $ 를 도출하여 이들이 애플라 가족에 속함을 확인한다.
• $ \varphi(\mu) = 1/\Gamma(\mu) $ 인 경우 $ \hat{c}^\alpha \varphi(0) = \varphi(\alpha+1) $ 를 만족하는 이동 유사 연산자 $ \hat{c} $ 를 사용한 운영 해석학 체계를 도입한다.
• 감마 함수 항등식 $ \frac{1}{A^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int_0^\infty e^{-sA} s^{\nu-1} ds $ 를 사용하여 $ E_\alpha(-x^2) = \frac{1}{1 + \hat{c}^\alpha x^2} \varphi(0) $ 라는 항등식을 유도함으로써 적분 표현을 도출한다.
• 라이트 함수 $ W_{\alpha,\beta}(x) $ 는 $ \hat{c}^{\alpha-1} e^{\hat{c}^\beta x} \varphi(0) $ 를 통해 정의되며, 그 급수 전개와 미분 성질을 유도한다.
• 분수적 라거르 도함수 $ {}_{\alpha}\hat{D}_{L,x} = -(1/\alpha) \partial_x^\alpha x \partial_x $ 를 사용하여 분수적 라거르 다항식 $ {}_{\alpha}L_n(x,y) $ 를 구성하고, 그 생성 함수를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 멱타-레플레르 함수는 어떻게 체계적으로 분수적 열화 다항식과 그 생성 함수와 연결될 수 있는가?
• RQ2 $ E_\alpha(-x^2) $ 의 적분 성질은 무엇이며, 운영 해석학을 통해 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 분수 도함수로 고전적 다항식 가족(Hermite, 라거르 등)은 어떻게 수정되며, 그 결과로 도출되는 일반화된 다항식은 무엇인가?
• RQ4 적분 및 도함수의 폐쇄형 표현을 도출하는 데 사용할 수 있는 운영 해석학 프레임워크는 무엇인가?
• RQ5 새로운 분수 다항식은 고전적 직교 다항식과 라이트 함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 감마 함수 항등식과 운영 해석학을 사용하여 적분 $ \int_{-\infty}^\infty E_\alpha(-x^2) dx = \frac{\pi}{\Gamma(1 - \alpha/2)} $ 이 도출된다.
• 분수적 열화 다항식 $ {}_{\alpha}H_n(x,y) $ 는 재귀식 $ \partial_x {}_{\alpha}H_n = n \, {}_{\alpha}H_{n-1} $ 과 $ \partial_y^\alpha $ 를 포함하는 분수 미분 방정식을 만족한다.
• 생성 함수 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\xi^n}{n!} {}_{\alpha}H_n(x,y) = E_\alpha(\xi^2 y) e^{\xi x} $ 는 이들이 애플라 가족에 속함을 확인한다.
• 분수적 라거르 다항식 $ {}_{\alpha}L_n(x,y) $ 는 분수 도함수 연산자 $ e^{y \, {}_{\alpha}\hat{D}_{L,x}} $ 의 지수함수를 통해 정의되며, 생성 함수는 $ \sum_{n=0}^\infty t^n \, {}_{\alpha}L_n(x,y) = \frac{1}{1 - yt} E_\alpha\left( -\frac{x^\alpha t}{1 - yt} \right) $ 로 주어진다.
• 라이트 함수에 대해 적분 $ \int_{-\infty}^\infty W_{\alpha,\beta}(-x^2) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\alpha - \beta/2)} $ 가 확립된다.
• 라이트 함수의 분수 도함수는 $ \partial_x^m W_{\alpha,\beta}(x) = W_{\alpha + m\beta, \beta}(x) $ 를 만족하며, 고전 특수 함수의 행동을 일반화한다.