[논문 리뷰] On Mixing Properties of Reversible Markov Chains

Richard C. Bradley|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 19.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가역적이고 해리스 재시행 가능한 마르코프 체인에서 $\rho^*$-혼합 조건이 $\rho$-혼합, 절대 정규성, 정보 정규성 등 다른 표준 혼합 조건들과 동치가 아니라는 반례를 구성한다. 이는 수치 상태 공간, 낮은 변동성 엔트로피, 지수 혼합 속도와 같은 유리한 조건 하에서도 성립한다. 주요 기여는 이 클래스에서 기하적 에르고디시티로부터 $\rho^*$-혼합이 유도되지 않음을 증명함으로써, 오랫동안 남아있던 혼합 조건의 계층 구조에 대한 열린 질문을 해결했다.

ABSTRACT

It is well known that for a strictly stationary, reversible, Harris recurrent Markov chain, the $ρ$-mixing condition is equivalent to geometric ergodicity and to a "spectral gap" condition. In this note, it will be shown with an example that for that class of Markov chains, the "interlaced" variant of the $ρ$-mixing condition fails to be equivalent to those conditions.

연구 동기 및 목표

• 가역적이고 해리스 재시행 가능한 마르코프 체인에서 $\rho^*$-혼합 조건이 혼합 조건의 동치 클래스에 포함되는지 여부를 규명하는 것.
• 이 클래스에서 $\rho^*$-혼합이 기하적 에르고디시티 또는 다른 표준 혼합 조건들로부터 유도되는지 여부를 조사하는 것.
• 모든 표준 혼합 조건(지수 속도 포함)을 만족하지만 $\rho^*$-혼합 조건을 만족하지 못하는 반례를 구성하는 것.
• 마르코프 체인의 종속성 조건 계층 내에서 $\rho^*$-혼합 조건의 위치를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 유한 상태 공간 $\{0,1,\dots,N\}$ 위에서 정의된 엄밀히 정적이고 가역적인 마르코프 체인 $Z^{(N)}$의 가족을 구성하며, $P(Z^{(N)}_0 = 0) \geq 1 - 2^{-N}$ 임을 보장한다.
• $Z^{(N)}$ 각각이 $\rho(Z^{(N)},1) \leq r < 1$, $I(Z^{(N)},n) \leq (2^{-N}r)^{2n}$, 그리고 $m < N/2$ 이면 $\rho(\sigma(Z^{(N)}_0), \sigma(Z^{(N)}_{-m}, Z^{(N)}_m)) \geq 1 - 1/N$ 를 만족하도록 보장한다.
• 과정 $X_k = (Z^{(3)}_k, Z^{(4)}_k, \dots)$ 를 정의하여, 곱 구조를 통해 가산 상태 공간, 엄밀히 정적이고 가역적인 마르코프 체인 $X$ 를 구성한다.
• 엔트로피의 가역성과 커플링 부등식을 활용하여 $\rho(X,n) \leq r^n$ 과 $I(X,n) < r^{2n}$ 를 유도하고, 기존 부등식을 통해 $\beta(X,n) < r^n$ 를 유추한다.
• $N$ 이 충분히 클 때 $\rho(\sigma(X_0), \sigma(X_{-n}, X_n)) \geq 1 - 1/N$ 를 확보함으로써 $\rho^*$-혼합의 실패를 입증한다.
• 보렐-칸토렐리 보조정리를 활용하여 $Z^{(N)}_k \neq 0$ 가 유한 번 이하로만 발생함을 보장함으로써, 잘 정의된 곱 과정 $X$ 를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가역적이고 해리스 재시행 가능한 마르코프 체인에서 기하적 에르고디시티로부터 $\rho^*$-혼합이 유도되는가?
• RQ2 마르코프 체인이 기하적 에르고디시티이면서 절대 정규성과 지수 속도, 정보 정규성과 지수 속도를 만족하지만 $\rho^*$-혼합이 아닌가?
• RQ3 $\rho^*$-혼합 조건이 가역적 마르코프 체인에서 표준 혼합 조건들의 동치 클래스 내에 포함되는가?
• RQ4 낮은 변동성 엔트로피와 지수 혼합 속도를 갖는 반례를 구성할 수 있는가. 그러나 여전히 $\rho^*$-혼합에 실패하는가?

주요 결과

• 구성된 마르코프 체인 $X$ 는 엄밀히 정적이고 가역적이며, 가산 상태 공간을 갖는다.
• 체인이 $H(\sigma(X_0)) \leq r$ 를 만족함으로써 매우 낮은 변동성 엔트로피를 가짐을 나타낸다.
• $\rho(X,n) \leq r^n$ 과 $I(X,n) < r^{2n}$ 가 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 성립함으로써 $\rho$-혼합과 정보 정규성의 지수 감쇠가 확인된다.
• $\beta(X,n) < r^n$ 이 모든 $n$ 에 대해 성립함으로써 절대 정규성의 지수 속도가 확인된다.
• 모든 이러한 강력한 혼합 성질에도 불구하고 $\rho^*(X,n)$ 이 $n \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하지 않음으로써 $X$ 는 $\rho^*$-혼합이 아님을 입증한다.
• 반례는 $\rho^*$-혼합이 기하적 에르고디시티 또는 이 클래스의 다른 표준 혼합 조건들로부터 유도되지 않음을 보여준다.