[논문 리뷰] On mod $p$ singular modular forms II

Siegfried Boecherer, Toshiyuki Kikuta|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 13.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 0

한 줄 요약

본 논문은 mod p^m 특이 Siegel 모듈러 형식을 벡터 값 케이스로 확장하고 가중치와 p-순위 사이의 합동성: 2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1})를 증명한다.

ABSTRACT

We generalize the notion of mod $p^m$ singular Siegel modular forms of $p$-rank $r$ to the vector-valued case and we show that also in this case a congruence mod $(p-1)p^{m-1}$ between the scalar weight and the $p$-rank must hold. In some sense our proof is even simpler than the one we gave previously in the scaler valued case.

연구 동기 및 목표

• 벡터 값 Siegel 모듈러 형식의 푸리에 계수의 정수성 및 Hecke 고유값의 합동성에 관한 산술적 질문들을 동기를 부여한다.
• 차수 n의 Siegel 모듈러 형식이 정수 계수를 갖고 있을 때(rank n-1 계수가 p와 서로소일 때) 모든 rank n 푸리에 계수가 p로 나누어지는지 결정한다.
• 이전을 scalar-valued 결과를 벡터 값 설정으로 확장하고 가중치-순위 합동을 확립한다.
• 이전 연구에서 사용된 theta 분해를 피하는 자체 포함 증명을 제공한다.
• 더 넓은 합동 부분군과 nebentypus 시나리오에 대한 일반화 논의를 다룬다.

제안 방법

• 고정된 rank r에 대해 벡터 값 Siegel 모듈러 형식의 mod p^m 특이성을 정의한다.
• 부분 Fourier-Jacobi 전개와 푸리에 전개의 rank-r 부분에 대한 정밀한 분석을 사용한다.
• nebentypus를 제어하고 관련 푸리에 계수를 고립시키기 위해 부분 꼬임/확장을 사용한다.
• 적절한 rank-r 변환을 통해 결과 합동을 1차 모듈러 형식과 theta 급수 간의 비교로 연결한다.
• 레벨 변경 논증과 모듈러 형식에 대한 알려진 결과를 적용해 최종 가중치-순위 합동을 도출한다.
• 아이러디피라와 구성요소 간 동일한 스칼라 가중치가 논증에 미치는 영향을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 n의 Siegel 모듈러 형식이 정수 푸리에 계수를 갖고 있을 때 rank n의 모든 푸リエ 계수가 p로 나누어질 수 있는가, rank n-1 계수가 p와 서로소일 때?
• RQ2 벡터 값 설정에서 mod p^m 특이성이 강제로 가하는 스칼라 가중치 k와 p-순위 r 사이의 합동은 무엇인가?
• RQ3 자연스러운 정수성 조건하에 가중치-순위 합동이 스칼라 값에서 벡터 값 모듈러 형식으로 확장되는가?
• RQ4 합동 부분군과 nebentypus 문자가 벡터 값 맥락에서 mod p^m 특이성과 mod p와 어떻게 상호 작용하는가?

주요 결과

• f가 rank r < n인 mod p^m 특이성을 가지면, 2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1})이다.
• 결과는 정수 푸리에 계수와 정수로 구현된 표현을 갖는 벡터 값 Siegel 모듈러 형식에 대해 성립한다.
• 증명은 theta 분해를 피하고 부분 Fourier-Jacobi 전개와 제어된 꼬임 주장을 활용한다.
• 합동은 특정 합동 부분군 및 모듈성 Nebentypus의 제곱법으로의 일반화에서도 지속된다.
• 논거는 표현과 레벨에 대한 약한 조건하에 스칼라 값의 경우를 벡터 값 형식으로 확장한다.