[논문 리뷰] On Modular Forms and the Inverse Galois Problem

Luís Dieulefait, Gabor Wiese|ArXiv.org|2009. 05. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 희생적 이중소수와 비자명한 내부 스트레스를 배제한 채, 타인적 이중소수를 사용하여 잔여 Galois 표현이 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 또는 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$와 동형인 프로젝티브 이미지를 갖는 모듈라 형식의 가중치를 구성함으로써, 역 Galois 문제의 새로운 사례를 확립한다. 이는 양의 밀도를 갖는 소수 $\ell$에 대해 성립한다. 주요 결과는 임의의 고정된 $n$에 대해 이러한 군들이 $\mathbb{Q}$ 위에서 Galois 군으로 나타나며, 이는 역 Galois 문제의 수평적 방향을 발전시킨다.

ABSTRACT

In this article new cases of the Inverse Galois Problem are established. The main result is that for a fixed integer n, there is a positive density set of primes p such that PSL_2(F_{p^n}) occurs as the Galois group of some finite extension of the rational numbers. These groups are obtained as projective images of residual modular Galois representations. Moreover, families of modular forms are constructed such that the images of all their residual Galois representations are as large as a priori possible. Both results essentially use Khare's and Wintenberger's notion of good-dihedral primes. Particular care is taken in order to exclude nontrivial inner twists.

연구 동기 및 목표

• 유한군의 새로운 가족인 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 및 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 형태로 역 Galois 문제를 확장하기.
• 임의의 고정된 $n$에 대해, $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 Galois 군으로 나타나는 소수 $\ell$ 의 집합이 양의 밀도를 갖는다는 것을 증명하기.
• 비자명한 내부 스트레스가 없고 복소 곱승이 없는 새로운형을 구성하여 최대 프로젝티브 이미지 크기를 확보하기.
• 타인적 이중소수(좋은 이중소수) 이론을 적용하여 Galois 표현의 이미지를 제어하고 예외적 소수를 피하기.

제안 방법

• 소수 $q$ 에서 타인적 이중소수 행동을 갖는 새로운형을 $S_2(\Gamma_0(Nq^2))$ 또는 $S_3(\Gamma_1(Nq^2), \chi)$ 에서 구성하여 프로젝티브 이미지를 크게 확보하기.
• Khare와 Wintenberger가 도입한 양호한 이중소수 이론을 사용하여 $\ell$ 모듈로 Galois 표현의 이미지를 제어하기.
• 적절한 수준과 특성을 선택함으로써 비자명한 내부 스트레스와 CM 의 부재를 확보하며, 특히 가중치 3 형식에 대해 홀수 딜레클 특성을 사용하기.
• Ribet의 큰 이미지 정리를 적용하여 거의 모든 소수 $\ell$ 에 대해 잔여 Galois 표현의 프로젝티브 이미지가 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 또는 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 임을 보장하기.
• 클래스체 이론과 푸리에 계수의 체 $\mathbb{Q}_f$ 내부에 존재하는 차수 $n$ 의 순환 확장의 존재를 활용하여 잔여 차수 $n$ 을 갖는 소수 $\ell$ 의 존재를 보장하기.
• 특히 $N \equiv 1 \mod 2n$ 일 때 $\mathbb{Q}_f$ 가 $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ 의 최대 전체 실수부분체를 포함하므로, 차수 $n$ 의 순환 확장을 구성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $n$ 에 대해, $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 Galois 군으로 나타나는 소수 $\ell$ 의 집합이 양의 밀도를 갖는가?
• RQ2 잔여 Galois 표현의 프로젝티브 이미지가 정확히 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 또는 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 되도록 하는 모듈라 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ3 사용된 새로운형이 비자명한 내부 스트레스가 없고, CM 형식이 아니라는 것을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ4 좋은 이중소수(좋은 이중소수)는 Galois 표현의 이미지를 제어하고, 역 Galois 결과를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 고정된 정수 $n$ 에 대해, $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 Galois 군으로 나타나며, 잔여 군의 분해는 $\ell$, $\infty$, 그리고 $n$ 의 기수에 따라 최대 세 개의 추가 소수에 국한된다. 이 집합은 양의 밀도를 갖는다.
• 만약 $n$ 이 홀수이면, $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 Galois 군으로 나타나는 소수 $\ell$ 의 집합이 양의 밀도를 갖는다. 이 경우 분해는 $\ell$, $\infty$, 그리고 두 개의 추가 소수에 국한된다.
• 구성 과정은 사용된 새로운형이 비자명한 내부 스트레스가 없고, CM 형식이 아니라는 점을 보장하며, 이는 최대 프로젝티브 이미지 크기를 확보하는 데 필수적이다.
• 새로운형과 관련된 잔여 Galois 표현의 프로젝티브 이미지는 $n$ 이 짝수일 경우 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$, 홀수일 경우 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 가 된다. 이는 $\mathbb{F}_{\ell^n}$ 에서의 행렬식 행동에 기인한다.
• 특히 $N \equiv 1 \mod 2n$ 일 때, $\mathbb{Q}_f$ 내에 차수 $n$ 의 순환 확장이 존재함이 보장되며, 이는 클래스체 이론을 적용하여 적절한 소수 $\ell$ 를 찾는 데 유용하다.
• 이 결과는 모든 $n$ 에 대해 균일하게 달성되며, 타인적 이중소수를 갖는 새로운형의 가족을 사용한다. 이러한 $\ell$ 의 밀도는 양의 성질을 갖지만, 정확한 밀도는 계산되지 않았다.