[논문 리뷰] On Moments of Folded and Doubly Truncated Multivariate Extended Skew-Normal Distributions

Christian E. Galarza, Larissa A. Matos외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 28.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다변량 절단 및 접힌 확장 비대칭 정규(ESN) 분포의 임의의 순서의 곱모멘트를 효율적으로 계산하기 위한 재귀 관계를 개발한다. 다변량 정규 분포와의 연결을 활용하여 더 빠르고 정확한 계산을 실현한다. 제안된 방법은 특히 극단적인 경우에서 기존 방법보다 뛰어나며, 캐시드 또는 경계가 있는 비대칭 데이터를 다루는 통계 모델링에 실용적으로 활용할 수 있도록 R 패키지 'MomTrunc'에 구현되어 있다.

ABSTRACT

This article develops recurrence relations for integrals that relate the density of multivariate extended skew-normal (ESN) distribution, including the well-known skew-normal (SN) distribution introduced by Azzalini and Dalla-Valle and the popular multivariate normal distribution. These recursions offer a fast computation of arbitrary order product moments of the multivariate truncated extended skew-normal and multivariate folded extended skew-normal distributions with the product moments as a byproduct. In addition to the recurrence approach, we realized that any arbitrary moment of the truncated multivariate extended skew-normal distribution can be computed using a corresponding moment of a truncated multivariate normal distribution, pointing the way to a faster algorithm since a less number of integrals is required for its computation which results much simpler to evaluate. Since there are several methods available to calculate the first two moments of a multivariate truncated normal distribution, we propose an optimized method that offers a better performance in terms of time and accuracy, in addition to consider extreme cases in which other methods fail. Finally, we present an application in finance where multivariate tail conditional expectation (MTCE) for SN distributed data is calculated using analytical expressions involving normal left-truncated moments. The R MomTrunc package provides these new efficient methods for practitioners. Supplementary files for this article are available online.

연구 동기 및 목표

• 다변량 절단 및 접힌 확장 비대칭 정규(TESN/FESN) 분포의 임의의 순서의 곱모멘트를 신속하고 정확하게 계산하기 위한 방법을 개발한다.
• 특히 비대칭성과 절단이 존재할 경우에 모멘트를 계산할 수 있는 기존 방법의 부족을 해결한다.
• 특히 표준 알고리즘이 실패하는 극단적인 경우에서의 계산 성능과 강건성을 향상시킨다.
• 기존의 다변량 절단 정규(TN) 분포를 위한 방법을 활용하는 통합된 계산 프레임워크를 제공한다.
• 제안된 알고리즘을 접근하기 쉬운 R 패키지로 구현하여 통계 실무에서의 광범위한 활용을 가능하게 한다.

제안 방법

• 다변량 ESN 분포의 밀도와 관련된 적분에 대한 재귀 관계를 유도하여 곱모멘트의 신속한 계산을 가능하게 한다.
• TESN 분포의 모멘트와 TN 분포의 모멘트 사이의 직접적 연결 고리를 확립하여 필요한 적분의 수를 최소화함으로써 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 다변량 TN 분포의 1차 및 2차 모멘트를 효율적으로 계산하는 기존의 잘 알려진 방법을 바탕으로 TESN 모멘트 계산에 활용한다.
• 기존 방법이 실패하는 극한 또는 극단적인 경우에서도 높은 정확도와 빠른 속도를 유지하는 최적화된 알고리즘을 구현한다.
• 제안된 방법을 R 패키지 'MomTrunc'에 개발 및 통합하여, 캐시드 또는 경계가 있는 비대칭 데이터를 다루는 통계 모델링에 효과적인 도구를 제공한다.
• 극한 분포나 극단적인 파라미터 값에서 발생하는 수치적 불안정성을 처리하기 위해 수치적 근사 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 절단 확장 비대칭 정규(TESN) 분포의 임의의 순서의 곱모멘트는 어떻게 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 TESN 분포의 모멘트와 다변량 절단 정규(TN) 분포의 모멘트 사이의 관계는 무엇이며, 이를 통해 더 빠른 계산이 가능할까?
• RQ3 제안된 방법은 기존 알고리즘이 실패하는 극단적인 경우—예를 들어 근접한 경계에서의 절단이나 높은 비대칭성—을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ4 재귀 기반 방법의 성능은 몬테카를로 시뮬레이션과 직접 적분 방법에 비해 속도와 정확도 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 접힌 확장 비대칭 정규(FESN) 분포의 모멘트를 부산물로 계산할 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 재귀 기반 방법은 TESN 및 FESN 분포의 곱모멘트를 임의의 순서까지 크게 향상된 속도와 정확도로 계산할 수 있다.
• 삼변량 접힌 ESN 분포의 경우, 몬테카를로 시뮬레이션보다 약 56배 빠르고, 식 (29)와 (30)을 사용한 직접 적분보다 10배 빠르다.
• 특히 다른 알고리즘이 실패하는 극단적인 경우에서, 다변량 TN 분포의 1차 및 2차 모멘트를 계산하는 데 있어 기존의 인기 있는 방법보다 뛰어나다.
• 이 방법은 극한의 정규 분포의 경우에도 모멘트를 성공적으로 계산할 수 있으며, 전략적 근사 기법을 통해 수치적 불안정성을 효과적으로 처리한다.
• R 패키지 'MomTrunc'에 구현된 방법은 캐시드 또는 경계가 있는 비대칭 데이터를 다루는 연구자와 실무자에게 강력하고 접근하기 쉬운 도구를 제공한다.
• 이 프레임워크는 다변량 정규 및 비대칭 정규 분포에 대한 이전 결과를 일반화하여, 더 넓은 범위의 확장 비대칭 정규 분포로 확장한다.