[논문 리뷰] On Morphic Actions and Integrability of LA-Groupoids

Luca Stefanini|ArXiv.org|2009. 02. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 리 대수다발의 범주에서의 군oids 대상인 LA-군oids의 이중 리 군oids로의 적분 가능성에 대한 충분조건을, 형태적 작용과 코탄젠트 릿트에 기반한 함자적 접근을 통해 수립한다. 이는 리 대수다발 호모토피에 대한 연장 구조를 통해 필요하고 충분한 적분 가능성 조건을 제공하며, 자연적인 가정 하에서 적분 문제를 해결하고, 파아손 군oids의 이중성과 축소 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Lie theory for the integration of Lie algebroids to Lie groupoids, on the one hand, and of Poisson manifolds to symplectic groupoids, on the other, has undergone tremendous developements in the last decade, thanks to the work of Mackenzie-Xu, Moerdijk-Mrcun, Cattaneo-Felder and Crainic-Fernandes, among others. In this thesis we study - part of - the categorified version of this story, namely the integrability of LA-groupoids (groupoid objects in the category of Lie algebroids), to double Lie groupoids (groupoid objects in the category of Lie groupoids) providing a first set of sufficient conditions for the integration to be possible. Mackenzie's double Lie structures arise naturally from lifting processes, such as the cotangent lift or the path prolongation, on ordinary Lie theoretic and Poisson geometric objects and we use them to study the integrability of quotient Poisson bivector fields, the relation between "local" and "global" duality of Poisson groupoids and Lie theory for Lie bialgebroids and Poisson groupoids.

연구 동기 및 목표

• LA-군oids를 이중 리 군oids로 통합하는 함자적 프레임워크를 개발한다.
• 파아손 군oids 작용 하에서 파아손 다양체 위의 몫 파아손 이차형식의 적분 가능성을 다룬다.
• 리 이중대수다발에 대한 리의 정리들을 일반화하며, 등조위부분대수다발과 사상의 적분 가능성을 포함한다.
• 이중 리 다각형의 구조를 통해 파아손 군oids의 국소적 및 전역적 이중성을 통합한다.
• 모멘트 사상과 호모토피 연장 기법을 사용하여 파아손 군oids 작용의 적분 문제에 대해 구축적 해결책을 제공한다.

제안 방법

• 형태적 작용을 리 대수다발 및 리 군oids의 범주에서의 군oids 작용으로 형식화한다.
• 파아손 G-공간과 관련된 모멘트 사상에 대해 마르스딘-우인스타인 축소를 적용한다.
• 파아손 G-공간의 코탄젠트 릿트를 구성하고, 이 작용을 리 대수다발 호모토피 공간으로 연장한다.
• 호모토피 공간 위의 연장된 작용을 통해 필요하고 충분한 적분 가능성 조건을 도출한다.
• LA-군oids의 적분과 심플렉틱 이중 군oids를 연결하는 함자적 통합 방법을 사용한다.
• 카타네오-수 및 와이너스의 이전 결과를 확장하기 위해 새로운 호모토피 이론적 접근을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LA-군oids가 언제 이중 리 군oids로 적분될 수 있는가?
• RQ2 파아손 군oids 작용 하에서 파아손 다양체 위의 몫 파아손 이차형식은 어떻게 적분될 수 있는가?
• RQ3 모멘트 사상은 파아손 군oids 작용의 적분에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 코탄젠트 릿트와 호모토피 공간 위의 작용 연장은 어떤 식으로 적분 가능성 기준을 도출하는가?
• RQ5 함자적 접근은 파아손 군oids의 국소적 및 전역적 이중성을 어떻게 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 LA-군oids를 이중 리 군oids로 통합하는 함자적 프레임워크를 수립하였으며, 이는 이전의 리 이중대수다발 통합 결과를 일반화한다.
• 리 대수다발 호모토피로의 작용 연장을 통해 파아손 군oids 작용의 적분 가능성에 대한 필요하고 충분한 조건을 제공한다.
• 코탄젠트 릿트와 호모토피 연장 구조를 통한 구성은 자연적인 가정 하에서 적분 문제에 대한 긍정적 해결책을 제공한다.
• 이 방법은 리 군oids 작용의 경우 심플렉티제이션 함자와 일치하며, 페르난데스-오르테가-라티우의 최근 연구에 대한 새로운 시각을 제공한다.
• 이 방법은 리의 첫 번째 및 두 번째 정리를 리 이중대수다발으로 확장하여, 등조위부분대수다발과 사상의 적분 가능성을 증명한다.
• 이 방법은 몫 파아손 이차형식의 적분 문제를 성공적으로 해결하여 체계적이고 효과적인 절차를 제공한다.