[논문 리뷰] On Multi Poly-Bernoulli Polynomials

Roberto B. Corcino, Hassan Jolany외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중다중로그함수를 사용하여 일반화된 다중다중베르누이 다항식을 도입하고, 히르체르-레르히 유형의 다중다중베르누이 다항식에 대해 r-위트니의 제2종 수를 이용한 명시적 공식을 유도한다. 주요 기여는 특수함수와 스틸링 유형의 수를 통해 조합수론과 연결된 이러한 다항식에 대한 닫힌 표현식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we define multi poly-Bernoulli polynomials using multiple polylogarithm and derive some properties parallel to those of poly-Bernoulli polynomials. Furthermore, an explicit formula for certain Hurwitz-Lerch type multi poly-Bernoulli polynomials is established using the $r$-Whitney numbers of the second kind.

연구 동기 및 목표

• 다중다중로그함수를 사용하여 다중다중베르누이 다항식을 다중매개변수 설정으로 확장한다.
• 일반화된 제타 함수를 사용하여 히르체르-레르히 유형의 다중다중베르누이 다항식을 정의한다.
• 이러한 다항식에 대해 r-위트니의 제2종 수를 이용한 명시적 공식을 수립한다.
• 매개변수가 음의 정수일 경우 특수한 경우에 대해 조합적 해석을 제공한다.

제안 방법

• 다중다중로그함수와 지수항을 포함한 생성함수를 통해 일반화된 다중다중베르누이 다항식을 정의한다.
• 일반화된 히르체르-레르히 다중제타 함수를 포함한 생성함수를 사용하여 히르체르-레르히 유형의 다중다중베르누이 다항식을 도입한다.
• r-위트니의 제2종 수의 지수 생성함수를 활용하여 명시적 공식을 도출한다.
• 다항식의 생성함수를 (1−e⁻ᵗ)와 지수항을 포함하는 급수 형태로 표현하여 r-위트니 수와 연결한다.
• 항등식 W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ)를 통해 r-위트니 수와 제2종 스틸링 수 사이의 관계를 확립한다.
• 히르체르-레르히 다중제타 함수의 생성함수를 사용하여 다항식에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중다중로그함수를 사용하여 다중다중베르누이 다항식을 다중매개변수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 히르체르-레르히 유형의 다중다중베르누이 다항식에 대한 명시적 공식은 알려진 조합수론적 수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 r-위트니의 제2종 수는 이러한 다항식의 생성함수 계수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 매개변수가 음의 정수일 경우, 다항식의 음이 아닌 정수값에 대해 조합적 해석을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 히르체르-레르히 유형의 다중다중베르누이 다항식에 대한 명시적 공식은 다음과 같다: Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾(x) = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [mᵣ! W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ].
• x = 0일 때 공식은 Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾ = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [(-1)ⁿ⁺ᵐʳ mᵣ! S(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ]로 단순화되며, 여기서 S(n, mᵣ)는 제2종 스틸링 수를 나타낸다.
• r = 1일 경우, 이 결과는 히르체르-레르히 다중다중베르누이 수에 대한 기존의 명시적 공식을 복원한다.
• 매개변수 k₁, ..., kᵣ가 음의 정수일 경우, Bₙ,ₐ⁽⁻ᵏ¹,…,⁻ᵏʳ⁾의 값은 음이 아닌 정수이며, 이는 잠재적인 조합적 해석을 시사한다.
• r-위트니의 제2종 수의 생성함수를 사용하여 주요 공식을 유도하였으며, 특수함수와 조합수열 간의 연결고리를 제공한다.
• 항등식 W₋₁,₀(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ)를 통해 r-위트니 수와 스틸링 수 사이의 관계가 확인된다.