[논문 리뷰] On multidimensional Bochner-Phillips functional calculus

А. Р. Миротин|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 23.

advanced mathematical theories참고 문헌 8인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 다변수 보르게르 함수를 사용하여 서로 가환하는 $C_0$-반군의 생성자를 위한 다차원 기능적 미적분을 개발하고, 그로 인해 생성된 연산자가 해석적 반군을 생성할 조건을 규명하며, 일차원 경우에 대해 순간 부등식을 증명한다. 주요 기여는 반군 생성자에 대한 순간 유형 추정에서의 정확한 상수를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

The functional calculus of semigroup generators, based on the class of Bernstein functions in several variables is developed, the condition for holomorphy of semigroups, generated by operators which arisen in the calculus is given, and in the one-dimensional case the moment inequality for such operators is proved.

연구 동기 및 목표

• 다변수 보르게르 함수를 기반으로 한 반군 생성자에 대한 다차원 기능적 미적분을 확장하고 정밀화하는 것.
• 기능적 미적분에서 유도된 연산자가 해석적 반군을 생성할 조건을 규명하는 것.
• 일차원 경우에 대해 순간 부등식을 확립하여 [7]의 결과를 일반화하는 것.
• 키시모토와 로빈슨가 제기한 균일하게 볼록한 공간에서의 해석성에 관한 질문에 긍정적인 답변을 제공하는 것.
• 특히 $\psi(A)$에 의해 생성된 반군의 생성자에 대한 기능적 미적분의 구조와 성질을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 절댓값으로 증가하는 일阶 편도함수를 가진 $(-\infty,0)^n$ 상의 $C^\infty$ 함수의 집합 $\mathcal{T}_n$ 을 사용한다.
• 다음과 같은 적분 표현을 이용한다: $\psi(s) = c_0 + c_1 \cdot s + \int_{\mathbb{R}_+^n \setminus \{0\}} (e^{s \cdot u} - 1) d\mu(u)$, $\psi \in \mathcal{T}_n$.
• 기능적 미적분을 $x \in D(A)$ 에 대해 $\psi(A)x = c_0 x + c_1 \cdot Ax + \int (T(u) - I)x d\mu(u)$ 로 정의한다.
• 측도 $\nu_t$ 가 $e^{t\psi(s)} = \int e^{s \cdot u} d\nu_t(u)$ 를 만족시키도록 $g_t(A)x = \int_{\mathbb{R}_+^n} T(u)x d\nu_t(u)$ 로 반군 $g_t(A)$ 를 구성한다.
• 다변수 보르게르-위더 정리를 적용하여 representing 측도 $\nu_t$ 의 존재성과 유일성을 보장한다.
• $\{\nu_t\}$ 가 유계 측도의 콬볼루션 반군을 이룬다는 사실을 이용하여 $g_t(A)$ 가 $C_0$-반군임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능적 미적분에 의해 정의된 연산자 $\psi(A)$ 가 어떤 조건에서 해석적 반군을 생성하는가?
• RQ2 일차원 경우에 대한 순간 유형 부등식에서의 정확한 상수는 무엇인가?
• RQ3 $\mathcal{T}_n$-미적분이 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서의 보조 반군의 해석성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 반군 $g_t(A)$ 의 성장과 $\psi$ 가 영점 근처에서의 행동 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 기본 연산자가 보존되는 조건에서 기능적 미적분을 유계가 아닌 연산자로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 닫힘 연산자 $\psi(A)$ 는 $g_t(A)$ 를 생성자로 가지며, 이는 기능적 미적분이 잘 정의되고 일관됨을 확인한다.
• 원래의 반군 $T_j(t)$ 가 해석적이며 특정 성장 조건을 만족하면 반군 $g_t(A)$ 도 해석적이다.
• 일차원 경우에 대해 $\|\psi(A)x\| \leq C_M \cdot \psi(-\|Ax\|/\|x\|) \cdot \|x\|$ 를 증명하며, 여기서 $C_M = (M+1)/(1 - e^{-(M+1)/M})$ 는 최적의 상수이다.
• $\psi \in \mathcal{T}_1$ 이 $(-\infty, 0)$ 에서 유계이면, 모든 $A \in \text{Gen}(X)$ 에 대해 $\psi(A)$ 는 유계이다; 반대로, 모든 $A$ 에 대해 $\psi(A)$ 가 유계이면 $\psi$ 는 $(-\infty, 0)$ 에서 유계여야 한다.
• $\psi_n \in \mathcal{T}_1$ 이 $(-\infty, 0]$ 상에서 점별로 0으로 수렴하면, 모든 $x \in D(A)$ 에 대해 $\psi_n(A)x \to 0$ 이다.
• 기능적 미적분은 일차원 경우에 고전적인 보흐너-필립스 미적분과 일致하며, 다변수 보르게르 함수를 이용해 다변수 설정으로 일반화된다.