[논문 리뷰] On Multisequences and their extensions

Srinivasan Krishnaswamy, Harish K. Pillai|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 다중수열에 대한 R-확장의 개념을 제안하고, R-확장이 최대 차원에 도달하는 다중수열을 생성하는 알고리즘을 개발한다. 이러한 다중수열의 수에 대한 폐형 공식을 유도하며, 이 이론을 활용해 주어진 원시 특성 다항식에 대해 전순위 헨켈 행렬과 다중입력/다중출력 지연 블록을 갖는 LFSR 구성 수를 세는 데 응용한다.

ABSTRACT

In this paper we deal with the dimension of multisequences and related properties. For a given multisequence W and an m tuple of positive integers R, we define the R extension of W. Further we count the number of multisequences W whose R extensions have maximum dimension and give an algorithm to derive such multisequences. We then go on to use this theory to count the number of Linear Feedback Shift Register(LFSR) configurations with multi input multi output delay blocks for any given primitive characteristic polynomial and also to design such LFSRs. Further, we use the result on multisequences to count the number of Hankel matrices of any given dimension.

연구 동기 및 목표

• 다중수열의 R-확장을 정의하고 분석하며, 그 차원을 특성화한다.
• R-확장이 최대 차원에 도달하는 다중수열의 수를 기술하는 공식을 유도한다.
• 최대 차원 R-확장을 갖는 다중수열을 생성하는 알고리즘을 개발한다.
• 주어진 원시 특성 다항식에 대해 다중입력/다중출력 지연 블록을 갖는 LFSR 구성 수를 세는 데 이 이론을 응용한다.
• 전순위 헨켈 행렬과 다중수열의 R-확장 간에 새로운 연결 고리를 확립하여, 이러한 행렬의 수를 세는 데 기여한다.

제안 방법

• 다중수열에 대한 행렬 상태의 개념을 도입하고, 다중수열의 차원을 그 행렬 상태의 열 공간의 차원으로 정의한다.
• R ∈ ℤ₊ᵐ에 대해 다중수열의 R-확장을 정의하며, 상태 행렬을 이동시키고 새로운 상태 벡터를 추가하여 확장한다.
• 선형 반복 관계의 동반 행렬 표현을 사용하여 다중수열의 동역학을 모델링한다.
• 선형 반복 수열 이론과 최소 다항식 이론을 적용하여 원시 최소 다항식을 갖는 다중수열를 특성화한다.
• 헨켈 행렬의 구조적 성질을 이용해 전순위 헨켈 행렬과 R-확장이 최대 차원에 도달하는 다중수열 간의 일대일 대응을 수립한다.
• R-확장의 최대 차원 조건을 만족하는 전순위 행렬 상태의 수에 기반한 수를 세는 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중수열의 R-확장이 가질 수 있는 최대 차원은 얼마이며, 어떤 다중수열에서 이 최대값이 달성되는가?
• RQ2 주어진 R ∈ ℤ₊ᵐ에 대해, 𝔽_q^m 상의 다중수열 중 R-확장이 최대 차원을 갖는 것은 몇 개인가?
• RQ3 다중수열의 R-확장 이론을 활용하여 주어진 원시 특성 다항식에 대해 다중입력/다중출력 지연 블록을 갖는 LFSR 구성 수를 세는 데 사용할 수 있는가?
• RQ4 전순위 헨켈 행렬과 R-확장이 최대 차원을 갖는 다중수열 사이에 구조적 대응 관계가 존재하는가?
• RQ5 유한체 𝔽_q 상의 n×n 전순위 헨켈 행렬의 수는 얼마인가?

주요 결과

• R-확장이 최대 차원을 갖는 𝔽_q^m 상의 다중수열의 수는 행렬 상태와 R-확장의 구조에 기반한 폐형 공식으로 주어진다.
• 차수 2n−1인 주어진 원시 다항식 p(s)와 R = (n−1, n)에 대해, 𝔽_q 상의 n×n 전순위 헨켈 행렬의 수는 정확히 q^{2n−1} − q^{2n−2}이다.
• 이 이론을 통해 주어진 원시 특성 다항식을 갖는 시퀀스를 생성하는 다중입력/다중출력 지연 블록을 갖는 LFSR 구성 수를 세는 데 기여한다.
• 전순위 헨켈 행렬과 R-확장이 최대 차원에 도달하는 다중수열 간의 일대일 대응이 수립되어, 다중수열 수 세기 기반으로 정확한 수를 세는 것이 가능해진다.
• 행렬 상태가 전순위인 것을 만족하는 다중수열을 생성하는 알고리즘이 제시되며, 이는 최대 차원 R-확장을 갖는 다중수열을 생성하는 데 기초한다.
• 다중수열의 차원은 그 행렬 상태의 열 공간의 차원으로 정의되며, R-확장은 상태 행렬을 이동된 상태들로 확장하여 구성된다.