[논문 리뷰] On Néron models, divisors and modular curves

Bas Edixhoven|ArXiv.org|1998. 06. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 모듈라 곡선 $X_0(p)$의 아벨-자기 맵에 의한 매끄러운 부분의 이미지에 초점을 맞추어 $J_0(p)$의 네론 모델을 조사한다. 레이노의 정규 모델과 이중점에서의 불변량을 통한 네론 모델 기술을 사용하여, $p > 13$ 이면서 $X_0(p)_{\mathbb{Q}}$의 종수가 2 이상인 경우, 특별화 피복의 이미지와 $f(0)$에 의해 생성된 부분군의 폐쇄의 교차는 정확히 두 점인 $f(0)_p$와 $f(\infty)_p$로 이루어져 있음을 증명하며, 콜먼이 제기한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number such that the modular curve $X_0(p)$ has genus at least two. We show that the only points of the reduction mod $p$ of $X_0(p)$ with image in the reduction mod $p$ of $J_0(p)$ in the cuspidal group are the two cusps. This answers a question of Robert Coleman. For the proof we give a description of the special fibre of the Néron model of the jacobian of a semi-stable curve in terms of divisors. We also study to what extent the morphism from a semistable curve with given base point to the Néron model of its jacobian is a closed immmersion. Implicitly, logarithmic structures intervene, and a well-known modular form of weight $p+1$ on supersingular elliptic curves plays an important role.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 곡선 $X_0(p)^{\sim,0}$의 특별화 피복에 대한 아벨-자기 맵의 이미지와 네론 모델의 $J_0(p)$에서 $f(0)$에 의해 생성된 부분군의 폐쇄와의 교차에 관한 로버트 콜먼의 질문을 해결하기 위해.
• 레이노의 아벨-자기 맵의 네론 모델 기술을 이중점에서의 불변량까지 확장하여, 특히 준안정 경우에 대해 로그 구조와 변형 이론을 사용하여 기술하기 위해.
• 정규 적절한 이중점이 있는 곡선의 매끄러운 부분에서 그 네론 모델로의 사상이 닫힌 매장임을 보이는 정확한 조건을 규명하기 위해.
• 이중점에서의 $e(x)$-불변량과 구성 요소 그래프를 이용하여 구성 요소 군 $\Phi^\sim / \Phi$의 구조를 기술하기 위해.

제안 방법

• 정규 모델의 상대 피카르 함수를 통한 아벨-자기 맵의 네론 모델 기술을 사용한다.
• 호모로지 군 $H_1(G, \mathbb{Z})$와 경계 사상의 상사영을 이용하여 구성 요소 군 $\Phi$ 및 그 확장 $\Phi^\sim$의 그래프 이론적 기술을 적용한다.
• 이중점 $x$에서의 불변량 $c(x)$를 도입하며, 이는 국소 방정식 $uv = \pi^{e(x)}$에서의 $e(x)$-불변량과 관련된다.
• 모듈라 형식의 무게 $p+1$을 이용하여 모듈라 곡선 $X_0(p)$의 $e(x)$-불변량을 결정한다.
• 가치 기준을 적용하고 전역 및 국소 변형 공간을 비교하여 특수화에 따른 점의 행동을 분석한다.
• 사상 $\Phi^\sim / \Phi \cong \left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$를 이용하여 구성 요소 군 내 점의 이미지를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 소수 $p$ 에서 $X_0(p)^{\sim,0}_p$ 의 아벨-자기 맵 $f$ 에 의한 이미지와 $f(0)$에 의해 생성된 부분군의 폐쇄의 교차가 정확히 $f(0)_p$ 와 $f(\infty)_p$ 두 점으로 이루어지는가?
• RQ2 정규 적절한 이중점이 있는 곡선의 매끄러운 부분 $X^{0}$ 에서 그 아벨-자기 맵의 네론 모델로의 사상이 닫힌 매장임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특별화 피복의 이중점에서의 불변량 $e(x)$ 는 구성 요소 군 $\Phi^\sim / \Phi$ 의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 무게 $p+1$ 의 모듈라 형식은 $X_0(p)$ 에서의 $e(x)$-불변량을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비분리 이중점 $y$ 에 대해 사상 $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ 가 단사가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 소수 $p$ 에 대해 $X_0(p)_{\mathbb{Q}}$ 의 종수가 2 이상인 경우, $f$ 에 의한 $X_0(p)^{\sim,0}_p$ 의 이미지와 $f(0)$ 에 의해 생성된 부분군의 폐쇄의 교차는 정확히 두 점인 $f(0)_p$ 와 $f(\infty)_p$ 로 이루어져 있다.
• 모든 이중점이 비분리이며, 모든 소수 $p$ 에 대해 각 비분리 이중점 $y$ 가 $v_p(e(x)) \leq v_p(e(y))$ 를 만족하는 모든 $y$ 를 포함하는 고리 안에 있을 때, 사상 $f: X^{0} \to J$ 는 닫힌 매장임과 동치이다.
• 구성 요소 군 $\Phi^\sim / \Phi$ 는 $\left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$ 와 동형이며, 여기서 $d^*$ 는 구성 요소 그래프에서의 코경계 사상이다.
• 특수화가 비분리 이중점 $y$ 에서 일어나는 점 $Q \in X(K)$ 는 구성 요소 해상도 체인에서의 컴포넌트의 인덱스 $i$ 에 대해 클래스 $\bar{i} \in \mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z}$ 로 매핑된다.
• $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ 의 단사성은, 모든 소수 $p$ 에 대해 $y$ 를 포함하는 고리가 존재하고, 그 고리 내 모든 $x$ 에 대해 $v_p(e(y)) \leq v_p(e(x))$ 를 만족하는 조건과 동치이다.
• 정규 적절한 이중점이 있는 곡선에 대해, 사상 $f: X^0 \to J$ 는 모든 $X_{\bar{k}}$ 의 이중점이 비분리일 때이고 그 때에만 닫힌 매장이다.