[논문 리뷰] On natural invariant measures on generalised iterated function systems

Antti Käenmäki|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 cylinder functions를 사용하여 일반화된 IFS에 대한 t-equilibrium 불변 측도의 존재를 증명하고, 균일성과 평형 차원을 극한 집합의 Hausdorff 차원과 연결하며, 자기-유사(Self-similar), 자기-원형(Self-conformal), 그리고 거의 모든 자기-선형(Self-affine) 경우에 적용 가능함을 보인다.

ABSTRACT

We consider the limit set of generalised iterated function systems. Under the assumption of a natural potential, the so called cylinder function, we prove the existence of the invariant probability measure satisfying the equilibrium state. We motivate this approach by showing that for typical self-affine sets there exists an ergodic invariant measure having the same Hausdorff dimension as the set itself.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 이터레이티드 펑션 시스템(IFS)에 대해 열역학적 형식화를 동기 부여하고 일반화한다.
• cylnder functions를 정의하고 방향 압력(topological pressure)을 정의하여 불변 측도와 equilibrium 상태를 연구한다.
• t-equilibrium 측도의 존재성과 ergodicity를 확립하고 equilibrium 차원을 Hausdorff 차원과 연결한다.
• 기하학적 투영을 통한 극한 집합으로의 투영 프레임워크를 탐구하고 분리 조건 및 차원 상한/하한을 연구한다.
• similitude, conformal, and affine IFS에 프레임워크를 특수화하고 Hausdorff 차원에 대한 시사점을 논의한다.

제안 방법

• symbol 공간 I^∞에서의 cylinder function psi_i^t를 도입하고 energy E_mu(t)와 entropy h_mu를 정의한다.
• topological pressure P(t)를 정의하고 일반화된 부분합성성(generalized subadditivity)을 통해 t-equilibrium measure의 존재를 증명한다.
• Choquet의 정리를 이용한 affine 매핑 특성과 평형 측정의 ergodicity를 증명한다.
• pi: I^∞ → X로의 투영 프레임워크를 개발하여 극한 집합 E를 얻고 bi-Lipschitz 및 분리 조건을 통해 Hausdorff 차원을 연구한다.
• 기하학적으로 안정된 IFS(OSC/SSC)에 프레임워크를 적용하고 주요 경우에서 equilibrium 차원과 Hausdorff 차원의 동등성을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 IFS에서 cylinder functions를 사용하여 equilibrium 상태를 달성하는 불변 확률측도의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ2 결과적으로 얻어지는 equilibrium measure가 ergodic하며 P(t)의 0에 대응하는 equilibrium 차원(dim_ψ)까지 전체를 가지는가?
• RQ3 symbol 공간의 기하학적 투영이 극한 집합의 Hausdorff 차원에 어떤 영향을 미치며, 어떤 분리 조건에서 이를 상한/하한으로 한정할 수 있는가?
• RQ4 similitude 및 conformal IFS가 극한 집합의 Hausdorff 차원과 일치하는 equilibrium measure를 산출하는가, 그리고 거의 모든 affine IFS의 경우는 어떤가?
• RQ5 기하학적으로 안정된 IFS 조건(경계가 제한된 중첩, bi-Lipschitz 경계)이 equilibrium 차원과 기하학적 차원 간의 관계에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• cylinders 함수 아래 일반화된 부분합성성 하에서 t-equilibrium measure의 존재.
• t-equilibrium measure는 ergodic하며 P(t)=0일 때 full equilibrium dimension(dim_ψ)을 실현한다.
• 기하학적으로 안정된 IFS의 경우 bi-Lipschitz 상수와 분리 조건으로 극한 집합에 대한 자연스러운 상한/하한 차원을 얻을 수 있다.
• similitude 및 conformal IFS의 경우 equilibrium measure의 Hausdorff 차원이 극한 집합의 Hausdorff 차원과 같다.
• 거의 모든 affine IFS에 대해 equilibrium 차원이 극한 집합의 Hausdorff 차원과 일치하며, 자기 선형 집합에 대한 알려진 결과와 일치한다.
• 이 프레임워크는 자기-유사, 자기-원형, 일반적인 자기-선형 시스템에 대한 알려진 결과를 재확인하고 확장한다.