[논문 리뷰] On Navier-Stokes-Korteweg and Euler-Korteweg Systems: Application to Quantum Fluids Models

Didier Bresch, Marguerite Gisclon외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 28.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 밀도에 의존하는 점성도를 만족하는 BD 관계를 갖는 나비에-스토크스-코르티우프 및 유체-코르티우프 시스템에 상대 엔트로피 방법을 확장하여 약한-강한 유일성과 점성계수가 0으로 수렴할 때 양자 나비에-스토크스 시스템의 전역 약한 해가 양자 유체 시스템의 소산 해로 수렴함을 증명한다. 주요 기여는 보다 단순화된 상대 엔트로피 공식화를 위한 증강 시스템을 도입하여 이전 연구에 비해 캡일러리 계수에 대한 가정을 줄인 것이다.

ABSTRACT

In this paper, the main objective is to generalize to the Navier-Stokes-Korteweg (with density dependent viscosities satisfying the BD relation) and Euler-Korteweg systems a recent relative entropy [proposed by D. Bresch, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] introduced for the compressible Navier-Stokes equations with a linear density dependent shear viscosity and a zero bulk viscosity. As a concrete application, this helps to justify mathematically the convergence between global weak solutions of the quantum Navier-Stokes system [recently obtained simultaneously by I. Lacroix-Violet and A. Vasseur (2017)] and dissipative solutions of the quantum Euler system when the viscosity coefficient tends to zero: This selects a dissipative solution as the limit of a viscous system. We also get weak-strong uniqueness for the Quantum-Euler and for the Quantum-Navier-Stokes equations. Our results are based on the fact that Euler-Korteweg systems and corresponding Navier--Stokes-Korteweg systems can be reformulated through an augmented system such as the compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities satisfying the BD algebraic relation. This was also observed recently [by D. Bresch, F. Couderc, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] for the Euler-Korteweg system for numerical purposes. As a by-product of our analysis, we show that this augmented formulation helps to define relative entropy estimates for the Euler Korteweg systems in a simplest way compared to recent works [See D. Donatelli, E. Feireisl, P. Marcati (2015) and J. Giesselmann, C. Lattanzio, A.-E. Tzavaras (2017)] with less hypothesis required on the capillary coefficient.

연구 동기 및 목표

• 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 상대 엔트로피 프레임워크를 나비에-스토크스-코르티우프 및 유체-코르티우프 시스템으로 일반화한다.
• 점성계수가 0으로 수렴할 때 양자 나비에-스토크스 시스템의 전역 약한 해가 양자 유체 시스템의 소산 해로 수렴함을 정당화한다.
• 상대 엔트로피 접근법을 사용하여 양자 유체 및 양자 나비에-스토크스 방정식에 대해 약한-강한 유일성을 확립한다.
• 증강 시스템 공식화를 도입하여, 이전 연구에 비해 캡일러리 계수에 대한 가정을 줄인, 유체-코르티우프 시스템에 대한 상대 엔트로피 추정을 단순화한다.

제안 방법

• 저자들은 밀도에 의존하는 점성도를 만족하는 BD 대수적 관계를 갖는, 증강된 압축성 나비에-스토크스 시스템으로서의 유체-코르티우프 및 나비에-스토크스-코르티우프 시스템을 재구성한다.
• 최근 개발된 상대 엔트로피 프레임워크(원래 선형 밀도에 의존하는 점성도 및 영일 빈도 점성도를 갖는 경우에 대해 개발됨)를 증강된 시스템에 적용한다.
• 상대 엔트로피 기능은 점성 시스템의 약한 해와 비점성 시스템의 강한 해 사이의 거리를 측정하도록 구성된다.
• 이 방법은 증강된 시스템의 구조를 이용하여 에너지 유형 부등식을 유도함으로써 상대 엔트로피 진화를 제어하는 데 의존한다.
• 핵심 추정은 캡일러리 항 $ \varepsilon^2 \rho \nabla \left( K(\rho)\Delta\rho + \frac{1}{2}K'(\rho)|\nabla\rho|^2 \right) $를 포함하며, 여기서 $ K(\rho) = \rho^s $, $ -1 \leq s \leq 0 $ 이다. 이는 적분 가능성과 수렴성을 보장하기 위해 필요하다.
• 분석은 점성계수가 0이 되면 유일한 소산 해가 선택됨을 증명하며, 점성 시스템의 약한 해가 비점성 시스템의 소산 해로 수렴함을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도에 의존하는 점성도를 만족하는 BD 관계를 갖는 유체-코르티우프 및 나비에-스토크스-코르티우프 시스템에 대해 상대 엔트로피 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ2 점성계수가 0으로 수렴할 때 양자 나비에-스토크스 시스템의 전역 약한 해가 양자 유체 시스템의 소산 해로 수렴하는가?
• RQ3 이 상대 엔트로피 프레임워크를 사용하여 양자 유체 및 양자 나비에-스토크스 방정식에 대해 약한-강한 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 증강된 시스템 공식화는 이전 접근법에 비해 어떻게 상대 엔트로피 추정을 단순화하는가?
• RQ5 상대 엔트로피 추정이 성립하기 위해 필요한 캡일러리 계수 $ K(\rho) $ 의 최소한의 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 밀도에 의존하는 점성도를 만족하는 BD 관계를 갖는 나비에-스토크스-코르티우프 및 유체-코르티우프 시스템에 대해 상대 엔트로피 프레임워크가 성공적으로 확장되었다.
• 점성계수가 0으로 수렴할 때 양자 나비에-스토크스 시스템의 전역 약한 해가 양자 유체 시스템의 소산 해로 수렴한다.
• 상대 엔트로피 방법을 사용하여 양자 유체 및 양자 나비에-스토크스 방정식에 대해 약한-강한 유일성이 확립되었다.
• 증강된 시스템 공식화를 통해 캡일러리 계수 $ K(\rho) $ 에 대한 가정이 크게 줄어들었으며, 특히 $ K(\rho) = \rho^s $ 이고 $ -1 \leq s \leq 0 $ 인 경우에 유리하다.
• 지정된 $ K(\rho) $ 조건 하에서 $ \mathcal{E}_{\text{EuK}}^{\text{GLT}} = 0 $ 이면 $ \mathcal{E}_{\text{EuK}} = 0 $ 이다. 이는 상대 엔트로피와 그 일반화된 형태 간의 동치성을 보장한다.
• 분석은 점성계수가 0이 되면 소산 해가 선택됨을 확인하며, 이는 점성계수의 비점성 극한에서 물리적으로 타당한 해가 선택됨을 수학적으로 정당화한다.