[논문 리뷰] On necessary and sufficient conditions for finite element convergence

Václav Kučera|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 12.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $H^1(\Omega)$에서 조각별 선형 적합한 유한요소법의 $O(h^\alpha)$ 수렴에 대해 처음으로 비자명한 필요 조건을 확립하며, 최대 각도가 $\pi$로 교차적으로 수렴하는 열린 요소의 밴드에 대한 기하학적 제약 조건을 규명한다. 또한 충족 조건을 일반화하여, 최대 각도 정점이 고립되거나 작은 군집을 이룰 경우 요소의 열림을 허용함으로써 수렴의 완전한 특성화에 가까워지게 한다.

ABSTRACT

In this paper we derive a necessary condition for finite element method (FEM) convergence in $H^1(Ω)$ as well as generalize known sufficient conditions. We deal with the piecewise linear conforming FEM on triangular meshes for Poisson's problem in 2D. In the first part, we prove a necessary condition on the mesh geometry for $O(h^α)$ convergence in the $H^1(Ω)$-seminorm with $α\in[0,1]$. We prove that certain structures, bands consisting of neighboring degenerating elements forming an alternating pattern cannot be too long with respect to $h$. This is a generalization of the Babu\v ska-Aziz counterexample and represents the first nontrivial necessary condition for finite element convergence. Using this condition we construct several counterexamples to various convergence rates in the FEM. In the second part, we generalize the maximum angle and circumradius conditions for $O(h^α)$ convergence. We prove that the triangulations can contain many elements violating these conditions as long as their maximum angle vertexes are sufficiently far from other degenerating elements or they form clusters of sufficiently small size. While a necessary and sufficient condition for $O(h^α)$ convergence in $H^1(Ω)$ remains unknown, the gap between the derived conditions is small in special cases.

연구 동기 및 목표

• 조각별 선형 적합한 유한요소법이 $H^1(\Omega)$에서 $O(h^\alpha)$ 수렴하기 위한 첫 번째 비자명한 필요 조건을 규명하는 것, 즉 $h \to 0$라는 자명한 조건을 초월하여.
• 최대 각도 조건 및 외접원 반지름 조건과 같은 기존 충족 조건을 일반화하여, 통제된 기하학적 구성에서 요소의 열림을 허용함으로써 $O(h^\alpha)$ 수렴을 가능하게 하는 것.
• 해석 공간의 $H^1$-준노름에서 이산 유한요소 공간의 근사 성질을 분석함으로써 필요 조건과 충족 조건 사이의 격차를 좁히는 것.
• 비수렴 또는 최적 수렴률 이하의 수렴률을 보이는 반례를 구성함으로써, 바부쉬카-아지즈 반례를 최적 형태로 복원하는 것.
• 보정 함수와 수정된 라그랑주 보간법을 사용하여, 최대 각도 조건을 위반하는 메시에서 전역적으로 연속적인 보간 함수를 구성하는 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 최대 각도가 교차적으로 배열된 인접한 삼각형 요소의 집합인 '밴드' 개념을 도입하여, 그 안에서 기울기 전파가 가능하도록 한다.
• 밴드 $\mathcal{B}$ 위에서 $H^1$-준노름 오차 $|u - U|_{H^1(\mathcal{B})}$에 하한을 도출하였으며, 밴드가 충분히 길고(예: $L \geq C_L h^{2\alpha/5}$) 최대 각도가 충분히 빨리 $\pi$로 수렴할 경우 오차가 유계가 아니게 되어 $O(h^\alpha)$ 수렴과 모순됨을 보였다.
• 이 모순을 바탕으로 필수 조건을 유도: 최대 각도가 교차적으로 배열된 요소의 밴드 길이는 $h \to 0$일 때 $O(h^{2\alpha/5})$를 초과할 수 없다.
• 메시를 최대 각도 조건을 만족하는 ${\cal T}_h^1$과 위반하는 ${\cal T}_h^2$로 분할하여 충족 조건을 일반화함. ${\cal T}_h^1$에서는 표준 라그랑주 보간법을, ${\cal T}_h^2$에서는 $O(h_K^2)$ 편향을 갖는 수정된 보간법을 사용함.
• ${\cal T}_h^2$에서의 불연속적인 수정된 보간 함수를 보완하기 위해 보정 함수를 도입하여, 전역적으로 연속적인 보간 함수를 $O(h^\alpha)$ 오차로 구성할 수 있도록 함.
• ${\cal T}_h^2$ 내의 요소의 열림은 최대 각도 정점이 다른 유사 정점들과 충분히 떨어져 있거나, 지름이 $O(h^{1/2})$ 이하인 군집을 이루는 한 허용될 수 있음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각별 선형 FEM이 $H^1(\Omega)$에서 $O(h^\alpha)$ 수렴하기 위해 요소의 밴드에 필요한 기하학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 최대 각도 조건과 외접원 반지름 조건은 통제된 공간 배치 하에서 요소의 열림을 허용하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ3 삼각형 메시에서 요소의 열림은 얼마나 허용될 수 있으며, $O(h^\alpha)$ 수렴을 파괴하지 않는가?
• RQ4 특정 메시 기하학에서 비수렴 또는 최적 수렴률 이하의 수렴률을 보이는 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ5 최대 각도 조건을 위반하는 메시에서 전역적으로 연속적인 보간 함수는 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 최초로 $H^1(\Omega)$에서 $O(h^\alpha)$ 수렴에 대한 비자명한 필요 조건을 도출함: 최대 각도가 교차적으로 배열된 요소의 밴드 길이는 $h \to 0$일 때 $O(h^{2\alpha/5})$를 초과할 수 없다.
• 크기 $L \times L$인 다수의 밴드가 군집을 이루는 경우, 필요 조건은 $L \leq C_L h^{2\alpha/5}$를 요구하지만, 충족 조건은 $L \leq C_L h^{\alpha/2}$까지 허용하므로, 수렴에 대한 격차는 $h^{\alpha/10}$ 정도이다.
• 바부쉬카-아지즈 반례가 최적 분석을 통해 복원되고 확장되었으며, 열림 속도를 조절함으로써 $\alpha < 1$인 모든 $\alpha$에 대해 비수렴 또는 $O(h^\alpha)$ 수렴을 유도할 수 있음이 입증됨.
• 최대 각도 조건을 위반하는 요소는 그 최대 각도 정점이 다른 유사 정점들과 너무 가까이 있지 않거나, 지름이 $O(h^{1/2})$ 이하인 군집을 이룰 경우 메시에 포함될 수 있음.
• 새로운 보정 함수의 구성 방법을 통해 국소 보간 오차가 $O(h_K^2)$인 요소가 포함된 경우에도 전역적으로 연속적인 보간 함수를 $O(h^\alpha)$ 오차로 구성할 수 있음.
• 분석 결과, 보간 함수가 전역적으로 선형이 될 수 없는 영역의 크기가 핵심이며, 수렴을 위해 $O(h^{0.5\alpha})$가 충분하고 $O(h^{0.4\alpha})$가 필수임을 보여줌.