[논문 리뷰] On Neighbourhood Zagreb index of product graphs

Sourav Mondal, Nilanjan De외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 14.

Graph theory and applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분자 그래프를 위한 새로운 도수 기반의 위상적 지표인 이웃 제브레드 지표(Mₙ)를 소개하고, 카르테시안, 텐서, 레이크 제품 그래프에서 Mₙ에 대한 정확한 공식을 유도한다. 올레산 이성질체에서 엔트로피(r = -0.95261)와 비대칭 인자(r = -0.99456)와의 강한 상관관계를 보이며, QSPR 연구에서 높은 예측 능력과 낮은 중복도를 보여, 화학적 구조-성질 모델링 및 약물 설계에 유망한 도구가 된다.

ABSTRACT

There is powerful relation between the chemical behaviour of chemical compounds and their molecular structures. Topological indices defined on these chemical molecular structures are capable to predict physical properties, chemical reactivity and biological activity. In this article, a new topological index named as Neighbourhood Zagreb index $(M_N)$ is presented. Here the chemical importance of this newly introduced index is studied and some explicit results for this index of different product graphs such as Cartesian, Tensor and Wreath product is derived. Some of these results are applied to obtain the Neighbourhood Zagreb index of several chemically important graphs and nano-structures.

연구 동기 및 목표

• 새로운 위상적 지표인 이웃 제브레드 지표(Mₙ)의 화학적 의미를 소개하고 조사한다. 이 지표는 이웃 정점의 차수 합의 제곱을 기반으로 한다.
• 카르테시안, 텐서, 레이크 곱과 같은 세 가지 주요 그래프 곱 연산에서 Mₙ에 대한 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 유도된 공식을 이용해 경로, 사이클, 완전 그래프, 펜스 유형의 구조를 포함한 화학적으로 관련된 그래프와 나노구조에서 Mₙ를 계산한다.
• 올레산 이성질체를 이용한 정량적 구조-성질 상관관계(QSPR) 모델링에서 Mₙ의 구조 구별 능력과 예측 정확도를 평가한다.

제안 방법

• 정점 v의 이웃 정점 차수 합 δ_G(v) = Σᵤ∈N_G(v) deg_G(u)로 정의된 이웃 제브레드 지표를 Mₙ(G) = Σₙ∈V(G) [δ_G(v)]²로 정의한다.
• 그래프 곱의 정의를 활용하여 카르테시안 곱(G₁□G₂), 텐서 곱(G₁×G₂), 레이크 곱(G₁[G₂])을 기반으로 구성 그래프의 불변량을 이용해 Mₙ 표현식을 유도한다.
• 유도된 공식에서 M₁(첫 번째 제브레드 지표), M₂(두 번째 제브레드 지표), 크기 |E|, 순서 |V|와 같은 기존의 그래프 불변량을 활용한다.
• 조합적 합계 기법과 대수적 변환을 통해 제품 그래프의 정점 집합에서 이웃 차수 합의 제곱을 전개하고 간소화한다.
• 분자 기술자들 웹사이트(molecular descriptors.eu)에서 제공하는 올레산 이성질체 데이터셋을 이용해 회귀 분 析를 통해 지표를 검증하고, 엔트로피와 비대칭 인자와의 상관계수를 계산한다.
• 평균 이성질체 중복도(d = n/t)를 통해 중복도를 평가하여 구조 식별 능력을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 올레산 이성질체에서 이웃 제브레드 지표(Mₙ)는 엔트로피와 비대칭 인자와 같은 주요 물리화학적 성질과 어떻게 상관관계가 있는가?
• RQ2 두 그래프의 주요 그래프 곱 연산(Cartesian, tensor, wreath)에서 Mₙ에 대한 정확한 폐쇄형 표현식을 유도할 수 있는가?
• RQ3 Mₙ는 기존의 위상적 지표와 비교해 구조 이성질체를 식별하는 데 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ4 Mₙ는 경로, 사이클, 완전 그래프, 펜스 그래프와 같은 화학적으로 중요한 그래프와 나노구조에서 어떻게 적용되어 지표를 계산할 수 있는가?
• RQ5 낮은 중복도와 높은 예측 정확도 덕분에 Mₙ는 QSPR/QSAR 모델링과 약물 설계에서 잠재력을 얼마나 지닌다?

주요 결과

• 올레산 이성질체에서 이웃 제브레드 지표(Mₙ)는 비대칭 인자(r = -0.99456)와 엔트로피(r = -0.95261)와 매우 강한 음의 상관관계를 보이며, 엔트로피에 대한 결정 계수 r² = 0.98915, 비대칭 인자에 대한 r² = 0.90746이다.
• Mₙ 지표는 낮은 중복도를 보이며, 올레산 이성질체의 평균 이성질체 중복도(d)가 1.0이므로 18개의 모든 구조 이성질체를 유일하게 식별한다.
• 카르테시안 곱에 대한 정확한 공식은 Mₙ(G₁□G₂) = Mₙ(G₁)Mₙ(G₂)이며, 최소 차수 ≥ 2인 그래프에 대해 유효하다.
• 레이크 곱 G₁[G₂]에 대한 공식은 Mₙ(G₁[G₂]) = |V₂|⁴Mₙ(G₁) + Mₙ(G₂) + 12|V₂||E₂|²M₁(G₁) + 8|E₁||E₂|M₁(G₂) + 8|V₂|²|E₂|(|V₂|+1)M₂(G₁) + 8|V₂||E₁|M₂(G₂) + 3|V₂|²M₁(G₁)M₁(G₂)이다.
• 명시적 계산 결과, Mₙ(Pₙ□Pₘ) = (16n−38)(16m−38) (n,m ≥ 4), Mₙ(Cₙ□Cₘ) = 256mn, Mₙ(Pₙ[P₂]) = 864n−1694 (n ≥ 4)이다.
• 복잡한 나노구조에서의 지표 계산에 성공하여, Mₙ(Cₙ[P₂]) = 816n+2 (n ≥ 3)로 계산되며, 이는 닫힌 펜스 그래프에 해당한다.