[논문 리뷰] On non-abelian homomorphic public-key cryptosystems

D. Grigoriev, Ilia Ponomarenko|ArXiv.org|2002. 07. 23.

Cryptography and Data Security참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 군 G에서 유한 가해군 H로의 에피모르피즘을 활용하여, 비아벨 군에 대한 첫 번째 비아벨 호모모르픽 공개키 암호체계를 구축한다. 모든 유한 가해 비자명 군이 이러한 암호체계를 지원하는 군의 범주에 속함을 입증함으로써, 기존의 아벨 군에 국한된 호모모르픽 암호화를 비아벨 대수적 구조로 확장하고, 비아벨 구조에서의 비밀 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

An important problem of modern cryptography concerns secret public-key computations in algebraic structures. We construct homomorphic cryptosystems being (secret) epimorphisms f:G --> H, where G, H are (publically known) groups and H is finite. A letter of a message to be encrypted is an element h element of H, while its encryption g element of G is such that f(g)=h. A homomorphic cryptosystem allows one to perform computations (operating in a group G) with encrypted information (without knowing the original message over H). In this paper certain homomorphic cryptosystems are constructed for the first time for non-abelian groups H (earlier, homomorphic cryptosystems were known only in the Abelian case). In fact, we present such a system for any solvable (fixed) group H.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 군에서의 비밀 계산을 지원하는 호모모르픽 공개키 암호체계를 개발함으로써, 이전 연구가 아벨 군에 국한된 것을 확장한다.
• 평문 군 H가 비아贝尔이고 유한한 경우에 호모모르픽 암호체계를 구축하는 데 도전하며, 보안성과 계산의 실현 가능성을 확보한다.
• 모든 유한 가해 비자명 군이 이러한 암호체계를 수용함을 증명함으로써, 호모모르픽 암호화에 적합한 군의 범주를 넓힌다.
• G가 유한 생성이고 H가 유한한 군인 군 에피모르피즘 f: G → H를 사용한 호모모르픽 암호화의 프레임워크를 체계화하며, f에 대한 원상에 의한 암호화를 가능하게 한다.
• 비아벨 대수적 구조에서의 비밀 계산을 위한 이론적 기반을 마련하며, 특히 부울 회로와 군론적 원리의 구현을 목적으로 한다.

제안 방법

• 호모모르픽 암호체계를 (R, A, P)의 삼중체로 정의한다. 여기서 R은 G에서 ker(f)의 오른쪽 여부류 대표자 집합이며, A는 단어의 집합이며, P: A → ker(f)는 트랩도어 함수이다.
• 에피모르피즘 f: G → H를 사용하여 G의 암호문을 H의 평문으로 매핑하며, 암호화는 r ∈ R 및 a ∈ A에 대해 P(a)r로 정의된다.
• 정의 1.1 조건에 따라 G와 H에서의 군 연산, 임의의 원소 생성, 역원 계산이 다항식 시간 내에 수행 가능하도록 보장한다.
• 소수 차수 순환군의 반직접곱을 이용하여 암호체계를 구성하며, 군의 확장 및 와이어드 프로덕트에 관한 기존 결과를 활용한다.
• G_crypt에 속한 군 H의 임의의 비자명 부분군 H′이 f⁻¹(H′)로의 시스템을 끌어올림으로써 G_crypt에 속하게 됨을 증명한다.
• 정확한 추월열 A → G → H → 1을 사용하여 구조를 체계화하며, 여기서 P는 준동형이며 im(P) = ker(f)임을 보장함으로써 호모모르픽 성질을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 유한 군, 특히 가해군에 대해 호모모르픽 공개키 암호체계를 구축할 수 있는가?
• RQ2 암호체계를 지원하기 위해 군 H가 가져야 할 필수적이고도 충분한 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 군론적 구성 방법을 통해 아벨 군을 초월해 호모모르픽 암호화를 지원하는 군의 범주를 확장할 수 있는가?
• RQ4 공개 정보와 숨겨진 트랩도어만을 사용하여 비아벨 군에서 비밀 계산을 수행할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 가해군에서 부울 회로나 군론적 계산을 위한 일반화된 형태로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정리 3.6에 의해, 호모모르픽 암호체계를 지원하는 군의 범주 G_crypt는 모든 유한 가해 비자명 군을 포함한다.
• 이 구성은 G가 유한 생성 군이고 H가 유한 가해 군인 에피모르피즘 f: G → H를 기반으로 하며, H는 그 곱표로 표현된다.
• 모든 H ∈ G_crypt에 대해, 암호화가 확률적이며 복호화가 트랩도어 함수 P⁻¹의 역함수를 푸는 데 필요한 호모모르픽 암호체계 (R, A, P)가 존재한다.
• 이 시스템은 비밀 계산을 지원한다: G에서 암호화된 데이터에 대한 연산은 평문에서 올바른 결과로 복호화되며, 평문 내용을 드러내지 않는다.
• 이 방법은 H의 부분군으로 일반화될 수 있으며, f⁻¹(H′)로 시스템을 끌어올림으로써 G_crypt에 속한 가해군의 모든 부분군도 G_crypt에 속하게 된다.
• 비록 와이어드 프로덕트로 인해 표현 크기가 지수적으로 증가할 수 있지만, H가 작을 경우 암호화 및 복호화에 다항식 시간 프레임워크를 제공한다.