[논문 리뷰] On non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case

Takahiro Tsushima|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비아벨리안 Lubin-Tate 이론의 GL(2)에 대한 순수 국소적 기하적 증명을 제시한다. 이는 동차도수의 홀수 등차수의 경우에 대해, Lubin-Tate 곡선에서 CM 점 주변의 아핀로이드를 분석하고, 그 감소를 계산하며, 애질레 코호몰로지 이론을 통해 이들을 전체 Lubin-Tate 공간의 코호몰로지와 연결함으로써 이루어진다. 핵심 결과는 전역 유형의 자동형 양식이나 Drinfeld 모듈라 곡선에 의존하지 않고, 이러한 감소의 코호몰로지를 통해 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응을 기하학적으로 실현하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we define a family of affinoids in the tubular neighborhoods of CM points in the Lubin-Tate curve with suitable level structures, and compute the reductions of them in the equal characteristic case. By using etale cohomology theory of adic spaces due to Huber, we show that the cohomology of the reductions contributes to the cohomology of the Lubin-Tate curve. As an application, with the help of explicit descriptions of the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence due to Bushnell-Henniart via the theory of types, we prove the non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case in a purely local manner. Conversely, if we admit the non-abelian Lubin-Tate theory, we can recover the explicit descriptions of the two correspondences geometrically.

연구 동기 및 목표

• 비아벨리안 Lubin-Tate 이론의 GL(2)에 대한 순수 국소적이고 기하학적인 증명을 제시함으로써, 전역 자동형 표현에 의존하지 않는 것을 목표로 한다.
• Lubin-Tate 곡선에서 유한 수준의 구조를 지닌 CM 점 주변의 아핀로이드 부분다발의 감소를 정의하고 계산한다.
• Huber의 애질레 코호몰로지 이론을 활용하여, 이러한 감소의 애질레 코호몰로지를 전체 Lubin-Tate 곡선의 코호몰로지와 연결한다.
• 이러한 감소의 코호몰로지를 통해 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응을 기하학적으로 실현한다.
• 기하학적 코호몰로지 데이터로부터 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응의 명시적 기술을 복원한다.

제안 방법

• 등차수의 경우에 대해, Drinfeld 또는 Iwahori 수준 구조를 지닌 Lubin-Tate 곡선에서 CM 점 주변의 아핀로이드 부분다발을 정의한다.
• 이 아핀로이드의 감소를 계산하고, 이전의 Weinstein의 작업과 호환되는 세 가지 유형으로 분류한다.
• Huber의 애질레 코호몰로지 이론을 활용하여, 감소의 코호몰로지를 전체 Lubin-Tate 곡선의 코호몰로지와 비교 정리에 의해 연결한다.
• Lubin-Tate 타워의 갈루아 및 히크 작용으로 유도된 감소 위의 군 작용을 분석한다.
• 코호몰로지 비교 보조정리(Lemma 4.5)를 적용하여, 감소의 컴acts지지 코호몰로지를 Lubin-Tate 공간의 코호몰로지와 연결한다.
• 푸에르비우스 수반성과 특성 이론을 활용하여, 코호몰로지가 군 $\boldsymbol{J}_{E,n}$의 유도 표현을 통해 국소 Langlands 대응을 실현함을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(2)에 대한 비아벨리안 Lubin-Tate 이론은 홀수 등차수의 경우에 순수 국소적이고 기하학적인 방식으로 증명될 수 있는가?
• RQ2 Lubin-Tate 곡선에서 CM 점 주변의 아핀로이드 부분다발의 감소는 전체 Lubin-Tate 공간의 코호몰로지에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응은 이러한 감소의 코호몰로지로부터 기하학적으로 복원될 수 있는가?
• RQ4 이러한 아핀로이드 감소 위의 군 작용의 구조는 무엇이며, 갈루아 표현과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 감소의 코호몰로지 군은 국소 Langlands 대응에서 예측된 올바른 기약 표현을 실현하는가?

주요 결과

• Lubin-Tate 곡선에서 CM 점 주변의 아핀로이드 부분다발의 감소는 세 가지 유형으로 분류되며, 그 중 하나의 유형은 각 수준에서 '신규 성분'을 이룬다.
• 감소의 중간 코호몰로지가 Huber의 비교 정리를 통해 전체 Lubin-Tate 곡선의 코호몰로지에 비영향을 미친다.
• 감소의 코호몰로지는 군 $\boldsymbol{J}_{E,n}$의 유도 표현을 통해 GL(2)에 대한 국소 Langlands 대응을 실현한다.
• 코호몰로지에서 유도된 명시적 특성 $\boldsymbol{\Phi}^{\iota}_{E,\chi_0}$는 국소 Langlands 대응에서 예측된 표현과 정확히 일치한다.
• 기하학적 구성은 동일한 코호몰로지 데이터로부터 국소 Jacquet-Langlands 대응을 결과적으로 실현한다.
• 이 증명은 전역 자동형 양식이나 Drinfeld 모듈라 곡선에 의존하지 않고, 비아벨리안 Lubin-Tate 이론을 GL(2)에 대해 확립한다.