[논문 리뷰] On non-existence of continuous families of stationary nonlinear modes for a class of complex potentials

Dmitry A. Zezyulin, Alexander Slobodyanyuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 24.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 W(x) = W1(x) + iCW1,x(x) 형태의 복소 잠재력, 즉 W-dW 잠재력에서 연속적인 가역 비선형 모드의 존재를 조사한다. 점근적 분석과 수치 시뮬레이션을 통해 이러한 모드의 진정한 연속적인 가족은 존재하지 않음을 발견하였으며, 대신 작은 잠재력 진폭에서 ε²차 오차까지 비선형 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 '가짜 모드'(pseudo-modes)를 규명하였다. 이러한 가짜 모드는 안정적이고 지속적인 진동을 보이며, 진정한 모드는 고립점으로서만 존재하며, 동역학적으로 불안정하다.

ABSTRACT

There are two cases when the nonlinear Schr\"odinger equation (NLSE) with an external complex potential is well-known to support continuous families of localized stationary modes: the ${\cal PT}$-symmetric potentials and the Wadati potentials. Recently Y. Kominis and coauthors [Chaos, Solitons and Fractals, 118, 222-233 (2019)] have suggested that the continuous families can be also found in complex potentials of the form $W(x)=W_{1}(x)+iCW_{1,x}(x)$, where $C$ is an arbitrary real and $W_1(x)$ is a real-valued and bounded differentiable function. Here we study in detail nonlinear stationary modes that emerge in complex potentials of this type (for brevity, we call them W-dW potentials). First, we assume that the potential is small and employ asymptotic methods to construct a family of nonlinear modes. Our asymptotic procedure stops at the terms of the $\varepsilon^2$ order, where small $\varepsilon$ characterizes amplitude of the potential. We therefore conjecture that no continuous families of authentic nonlinear modes exist in this case, but "pseudo-modes" that satisfy the equation up to $\varepsilon^2$-error can indeed be found in W-dW potentials. Second, we consider the particular case of a W-dW potential well of finite depth and support our hypothesis with qualitative and numerical arguments. Third, we simulate the nonlinear dynamics of found pseudo-modes and observe that, if the amplitude of W-dW potential is small, then the pseudo-modes are robust and display persistent oscillations around a certain position predicted by the asymptotic expansion. Finally, we study the authentic stationary modes which do not form a continuous family, but exist as isolated points. Numerical simulations reveal dynamical instability of these solutions.

연구 동기 및 목표

• Kominis 등에 의해 최근 제안된, 이러한 모드를 지지할 수 있는 잠재력으로서 W-dW 복소 잠재력에서 연속적인 가역 비선형 모드의 가족 존재 여부를 조사하기 위해.
• 작은 진폭의 W-dW 잠재력에서 비선형 모드의 점근적 구성의 타당성을 검토하기 위해.
• 발견된 해의 동역학적 행동, 특히 시간 진동에 따른 안정성과 지속성 분석을 위해.
• 근사 해인 '가짜 모드'의 성질과 진정한 고립된 정상 모드의 성질를 비교하기 위해.
• 보존 시스템(연속적인 가족을 지지함)과 복소 잠재력을 지닌 소산 시스템(일般적으로 고립된 모드만 지지함) 간의 구조적 차이를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• ε가 W-dW 잠재력의 작은 진폭을 나타내는 바, ε²차까지의 점근적 전개 기법을 사용한다.
• 정상 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 파동함수 φ(x) = u(x) + iv(x)의 실수부와 허수부에 대한 결합된 상미분방정식계를 유도한다.
• ε = 0의 경우에서의 동형 궤도(고립파)가 작은 외란에 의해 지속되는지 평가하기 위해 멜니코프 벡터 분석을 적용한다.
• 가짜 모드의 시간 진동 수치 시뮬레이션을 수행하여 그들의 동역학적 내구성과 진동 행동을 평가한다.
• 연속적인 가족을 이루지 않는 고립된 정상 모드를 찾고 분석하기 위해 수치적 연속 기법을 사용한다.
• 직접 수치적 시간 적분을 통해 가짜 모드와 진정한 고립 모드의 안정성을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kominis 등이 제안한 바와 같이, W-dW 잠재력에서 연속적인 가역 비선형 모드의 가족이 존재하는가?
• RQ2 작은 진폭의 W-dW 잠재력에서 비선형 슈뢰딩거 방정식의 해에 대해 점근적 방법이 ε²차까지 연속적인 해의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ3 점근적 전개를 통해 발견된 해들이 진정한 물리적 비선형 모드인가, 아니면 단지 근사적인 '가짜 모드'인가?
• RQ4 잠재력 진폭이 작을 경우 시간 진동에서 이러한 가짜 모드가 안정적이고 지속적인 진동을 보이는가?
• RQ5 고립점으로서 존재하는 진정한 정상 모드는 동역학적으로 안정한가, 불안정한가?

주요 결과

• W-dW 잠재력에서는 진정한 비선형 모드의 연속적인 가족이 존재하지 않으며, 점근적 구성이 ε²차를 초월해 실패함으로써 이러한 가족의 부재가 확인된다.
• 점근적 절차는 ε²오차까지 정류된 정류 방정식을 만족하는 '가짜 모드'를 도출하며, 이는 정확한 해가 아니라 근사 해임을 시사한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 잠재력 진폭이 작을 경우 가짜 모드는 점근적 전개로 예측된 위치 주변에서 안정적이고 지속적인 진동을 유지함을 보였다.
• 진정한 정상 모드는 매개변수 공간에서 고립점으로서만 존재하며, 수치 시뮬레이션을 통해 그들의 동역학적 불안정성이 확인되었다.
• 가짜 모드는 작은 외란 하에서 동역학적으로 안정한 반면, 진정한 고립 모드는 불안정함을 확인하였으며, 이는 그들의 행동에 있어 핵심적인 차이를 드러낸다.
• 결과적으로, W-dW 잠재력가 연속적인 비선형 모드의 가족을 지지하지 않으며, 이는 이전의 제안과는 정반대되는 가설을 지지한다.