[논문 리뷰] On non-overdetermined inverse scattering at zero energy in three dimensions

Roman Novikov|ArXiv.org|2006. 05. 31.

Numerical methods in inverse problems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 영에너지에서의 비과다정의 역산산 문제에 대해 $\bar{\partial}$-방정식 접근법을 개발하여, 소규모 잠재력으로부터 배산산형 데이터로부터의 유일성, 재구성, 안정성 및 근사 재구성에 대해 확립한다. 주요 기여는 복소도메인에서 제한된 파데프 산란 진폭으로부터 슈뢰딩거 잠재력 재구복을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것으로, 전기 임피던스 단층촬영에 직접적인 응용이 가능하다.

ABSTRACT

We develop the d-bar -approach to inverse scattering at zero energy in dimensions d>=3 of [Beals, Coifman 1985], [Henkin, Novikov 1987] and [Novikov 2002]. As a result we give, in particular, uniqueness theorem, precise reconstruction procedure, stability estimate and approximate reconstruction for the problem of finding a sufficiently small potential v in the Schrodinger equation from a fixed non-overdetermined ("backscattering type") restriction h on $Γ$ of the Faddeev generalized scattering amplitude h in the complex domain at zero energy in dimension d=3. For sufficiently small potentials v we formulate also a characterization theorem for the aforementioned restriction h on $Γ$ and a new characterization theorem for the full Faddeev function h in the complex domain at zero energy in dimension d=3. We show that the results of the present work have direct applications to the electrical impedance tomography via a reduction given first in [Novikov, 1987, 1988].

연구 동기 및 목표

• 3차원 슈뢰딩거 방정식에서 영에너지에서 제한된 파데프 산란 진폭으로부터 소규모 잠재력 재구성에 대한 유일성 정리를 확립하는 것.
• 비과다정의(배산산형) 데이터에 적용된 $\bar{\partial}$-방정식 형식론을 이용하여 잠재력에 대한 정밀한 재구성 절차를 개발하는 것.
• 잠재력의 푸리에 변환에 대한 $L_{\mu}^\infty$-정규성 조건 하에서 소규모 잠재력에 대한 안정성 추정 및 근사 재구성 체계를 유도하는 것.
• 소규모 잠재력에 대해 복소도메인에서의 산란자료 $h|_{\Gamma}$ 및 전체 파데프 함수 $h$의 특성화를 제공하는 것.
• 노빅로프(1987, 1988)의 감소를 통한 전기 임피던스 단층촬영에 대한 결과의 직접적 응용을 보여주는 것.

제안 방법

• 베일즈-코이프만(1985), 헨킨-노빅로프(1987), 노빅로프(2002)에서 개발된 $\bar{\partial}$-방정식 접근법을 영에너지에서의 역산산에 적용한다.
• 복소다양체 $\Theta = \{k,l \in \mathbb{C}^3 : k^2 = l^2 = 0, \operatorname{Im}k = \operatorname{Im}l\}$ 위에서 정의된 파데프 일반화된 산란 진폭 $h(k,l)$를 사용하며, $\Gamma \subset \Theta$로 제한한다.
• 잠재력 $v$와 산란자료를 연결하기 위해 $k \in \Sigma = \{k \in \mathbb{C}^3 : k^2 = 0\}$에 대해 $H(k,\cdot)$에 대한 적분방정식 $H(k,p) = \hat{v}(p) - \int \frac{\hat{v}(p+\xi) H(k,-\xi)}{\xi^2 + 2k\xi} d\xi$ 를 사용한다.
• $L_\mu^\infty$-노름 공간에서 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 $\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$ 이며 $\mu \geq 2$ 라는 조건을 도입한다.
• 재구성 과정에서 발생하는 비선형 적분방정식을 해결하기 위해 $(\mathbb{C} \setminus 0) \times (\mathbb{R}^3 \setminus \mathcal{L}_\nu)$ 공간에서의 수축사상 원리를 적용한다.
• 복소평면에서 커널 $1/\zeta$에 대한 추정과 $L_\mu^\infty$-노름 제어를 사용하여 재구성 과정의 안정성 및 수렴 한계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 슈뢰딩거 방정식에서의 잠재력 $v$는 영에너지에서 파데프 산란 진폭의 제한 $h|_{\Gamma}$로부터 유일하게 재구성될 수 있는가?
• RQ2 $h|_{\Gamma}$로부터 $v$에 대한 정밀한 재구성 절차는 무엇이며, 이 절차의 안정성 및 수렴 성질은 어떠한가?
• RQ3 $\hat{v}$에 대한 어떤 조건이 관련된 $\bar{\partial}$-방정식 시스템의 해법 가능성과 재구성의 타당성을 보장하는가?
• RQ4 $h|_{\Gamma}$는 고전적 배산산 진폭과 어떻게 관련되어 있으며, 비과다정의 역산산에서 그 역할은 무엇인가?
• RQ5 소규모 잠재력에 대해 복소도메인에서의 산란자료 $h|_{\Gamma}$ 및 전체 $h$의 특성은 어떠한가?

주요 결과

• 소규모 잠재력에 대해 $\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$ 이며 $\mu \geq 2$ 이며 $||\hat{v}||_\mu$ 가 충분히 작을 경우, 잠재력 $v$의 유일성이 확립된다.
• 성간 반복을 이용한 비선형 적분방정식의 해를 통한 $L_\mu^\infty$-공간에서의 정밀한 재구성 절차가 유도된다.
• 안정성 추정이 확보된다: 재구성된 잠재력 간의 $L_\mu^\infty$-노름 차이는 산란자료의 차이에 대한 상수배로 유계이다.
• 수축사상 원리에 기반하여 수렴 속도 $O(r)$로 근사 재구성이 달성되며, 여기서 $r = ||\hat{v}||_\mu$ 이고 $\alpha = 4c_6(\mu)r < 1$ 이다.
• 특성화 정리가 증명된다: $h|_{\Gamma}$는 $\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$, $\mu \geq 2$, $||\hat{v}||_\mu$ 가 작을 경우, 유일하게 잠재력 $v$로부터 유도되며, 이에 대응하는 $\bar{\partial}$-방정식의 해가 요구되는 적분방정식을 만족한다.
• 소규모 및 정규성 조건을 만족하는 $\hat{v}$ 하에, 3차원에서 영에너지에서 전체 파데프 함수 $h$의 복소도메인에 대한 새로운 특성화 정리가 확립된다.