[논문 리뷰] On non-strict notions of $n$-category and $n$-groupoid via multisimplicial sets

Zouhair Tamsamani|arXiv (Cornell University)|1995. 12. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다중단순형 집합을 사용하여 비엄격한 $n$-범주와 $n$-군oids에 대한 단순형 접근법을 제안한다. 이는 범주의 네트워크 구성의 일반화이다. 공간 $X$로부터 그의 $n$-단절된 호모토피 유형을 캡처하는 $n$-군oids $Π_n(X)$를 정의하며, 기하적 실현과 $Π_n$가 $n$-단절된 공간과 $n$-군oids 사이의 역동적 동치를 이룬다는 추측을 제기한다.

ABSTRACT

In this paper we first give a simplicial approach to the definition of a non strict $n$-category that we call an $n$-nerve following the idea that a category could be interpreted as a simplicial set, and we prove that our construction generalises the case of the usual non strict 2-category. Next we give a simplicial definition of a non strict $n$-groupoid. Then we associate to any space $X$ an $n$-groupoid $Π_{_{n}}(X)$ which generalises the famous Poincaré groupoid $Π_{_{1}}(X)$ and embodies the $n$-truncated homotopy type of $X$. We also give a natural construction for the geometric realisation of an $n$-groupoid and we conjecture that the functor geometric realisation is an inverse up to equivalence to the functor $Π_{_{n}}(\ )$ from the category of $n$-truncated topological spaces to the category $n$-Gr of $n$-groupoids.

연구 동기 및 목표

• 다중단순형 집합을 사용하여 비엄격한 $n$-범주를 위한 단순형 프레임워크를 개발한다.
• 범주의 네트워크 구성 방식을 고차원 범주적 구조로 일반화한다.
• 위상공간 $X$로부터 그의 $n$-단절된 호모토피 유형을 캡처하는 $n$-군oids $\Pi_n(X)$를 정의한다.
• 비엄격한 $n$-군oids에 대한 자연스러운 기하적 실현 함자를 확립한다.
• 기하적 실현과 $\Pi_n$가 $n$-단절된 공간과 $n$-군oids 사이의 범주 동치를 이룬다는 추측을 한다.

제안 방법

• 비엄격한 $n$-범주를 모델링하기 위해 다중단순형 집합을 기본 구조로 사용한다.
• 반복적인 단순형 구성 방식을 통해 비엄격한 $n$-범주의 $n$-네트워크를 정의한다.
• 공간 $X$에 관련된 $n$-군oids $Π_n(X)$를 구성하며, 이는 기본군oids $Π_1(X)$의 일반화이다.
• 다중단순형 네트워크 구성 방식을 사용하여 $n$-군oids에 대한 기하적 실현 함자를 도입한다.
• 높은 차원에서의 일관성을 확보하기 위해 단순형 기법과 호모토피 대수학을 활용한다.
• 고차원 범주가 고차원 단순형 대상으로 표현될 수 있으며, 이는 고전적 네트워크 함수의 확장이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중단순형 집합을 사용하여 비엄격한 $n$-범주를 어떻게 정의할 수 있으며, 이는 범주의 네트워크 구성 방식을 일반화하는가?
• RQ2 공간의 $n$-단절된 호모토피 유형을 캡처하는 데 적합한 $n$-군oids에 대한 적절한 단순형 구성은 무엇인가?
• RQ3 비엄격한 $n$-군oids에 대해 자연스러운 기하적 실현 함자를 정의할 수 있으며, 이는 $Π_n$ 구성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기하적 실현과 $Π_n$이 $n$-단절된 공간에서 $n$-군oids로의 함수로 작용할 때, 이들이 범주 동치를 이룬다는가?
• RQ5 제안된 $n$-군oids $Π_n(X)$는 고전적 Poincaré 기본군oids $Π_1(X)$를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 논문은 다중단순형 집합을 사용하여 약한 $n$-범주의 $n$-네트워크를 구성함으로써 비엄격한 $n$-범주를 구축하며, 이는 고전적 범주의 네트워크 구성의 일반화이다.
• 위상공간 $X$로부터 그의 $n$-단절된 호모토피 유형을 캡처하는 $n$-군oids $Π_n(X)$를 정의하며, 이는 $Π_1(X)$의 일반화이다.
• 다중단순형 네트워크와 실현 기법을 사용하여 $n$-군oids에 대한 자연스러운 기하적 실현 함자를 구성한다.
• 논문은 기하적 실현 함자가 $Π_n$ 함수의 준역함수임을 추측하며, $n$-단절된 공간의 호모토피 범주와 $n$-군oids의 범주 사이의 동치를 확립한다.
• 이 구성은 비엄격한 2범주의 경우를 일반화하며, 2차원에서의 접근 방식을 검증한다.
• 이 프레임워크는 호모토피적 구조와 호환되는 단순형, 다중단순형 모델을 제공한다.