[논문 리뷰] On Non-uniqueness of Hölder continuous globally dissipative Euler flows

Camillo De Lellis, Hyunju Kwon|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 11.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 비압축성 오일러 방정식에 대해 α < 1/7 인 허더 연속성 지수를 가진 전역적으로 소산성인 약한 해의 존재를 확립한다. 미카도 흐름을 사용한 볼록 적분 기반의 방법을 통해, 온제이어 임계값 이하의 허더 연속성에도 에너지 보존 법칙을 위반하는 해를 구성함으로써, 소산성 클래스 내에서의 비유일성도 입증한다.

ABSTRACT

We show that for any $\al&lt;\frac 17$ there exist $\al$-Hölder continuous weak solutions of the three-dimensional incompressible Euler equation, which satisfy the local energy inequality and strictly dissipate the total kinetic energy. The proof relies on the convex integration scheme and the main building blocks of the solution are various Mikado flows with disjoint supports in space and time.

연구 동기 및 목표

• 3차원 비압축성 오일러 방정식에 대해 허더 연속성과 전역적 소산성을 동시에 만족하는 해를 구성함으로써, 온제이어 추측의 더 강력한 형태를 해결한다.
• 허더 연속성과 전역적 소산성을 동시에 만족하는 오일러 흐름의 약한 해 클래스 내에서 비유일성을 입증한다.
• 이전의 볼록 적분 구성 기법을 개선하여, 더 높은 정규성과 함께 엄격한 에너지 소산을 유지하는 해를 얻는다.
• 점성계수가 0으로 수렴하는 레이놀즈 수의 나비에-스토크스 해의 비점성 극한에서의 비정상적 소산 현상에 대해 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 통제된 허더 연속성과 에너지 소산을 갖는 약한 해를 구성하기 위해 볼록 적분 기법을 적용한다.
• 공간과 시간에서 서로 겹치지 않는 지지 집합을 가진 미카도 흐름을 구성함으로써, 정규성에 영향을 주지 않으면서도 에너지 소산을 보장한다.
• 오일러-레인올즈 시스템의 오차를 보정하기 위해 반복적 반복 기법을 사용하며, 에너지 부등식과 허더 유계성을 유지한다.
• 리틀우드-파일리 프로젝션을 통해 주파수 국소화와 교환자 추정을 적용하여 오차 항을 제어한다.
• 시간 간격에서 흐름을 정규화함으로써 반복 과정 전반에 걸쳐 허더 연속성과 에너지 소산을 유지한다.
• 교환자 추정과 주파수 국소화를 활용하여 에너지 부등식 내 비선형 오차 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 오일러 방정식에 대해 온제이어 임계값 이하의 허더 연속성 지수를 가진 전역적으로 소산성인 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 허더 연속성과 전역적 소산성을 동시에 만족하는 오일러 해의 클래스 내에서 비유일성이 가능할 수 있는가?
• RQ3 볼록 적분 기법을 수정하여 엄격한 에너지 소산을 유지하면서도 허더 연속성을 유지하는 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 소산성 해는 점성계수가 0으로 수렴하는 적절한 나비에-스토크스 해의 극한으로 얻을 수 있는가?
• RQ5 비유일성과 엄격한 에너지 소산이 동시에 성립하는 3차원 오일러 방정식에서 최적의 허더 지수 α는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 α < 1/7 에 대해, [0,T]×𝕋³ 상에서 허더 공간 C^α 내에 존재하는 3차원 비압축성 오일러 방정식의 전역적으로 소산성 약한 해가 존재한다.
• 구성된 해는 엄격한 소산을 보이는 국소 에너지 부등식을 만족한다: ∫|v|²/2(T,x)dx < ∫|v|²/2(0,x)dx.
• 비유일성이 입증되었다: 동일한 초기 조건과 허더 연속성 지수를 갖는 서로 다른 전역적으로 소산성 해가 무수히 많이 존재한다.
• 에너지 소산을 보장하면서도 허더 연속성을 유지하기 위해, 공간과 시간에서 서로 겹치지 않는 지지 집합을 가진 미카도 흐름에 의존한다.
• 이전의 볼록 적분 기법을 개선하여 더 높은 정규성과 함께 엄격한 에너지 소산을 유지하는 해를 구성하였다.
• 결과적으로 국소 에너지 부등식과 허더 연속성만으로는 오일러 방정식에서 해의 유일성을 회복할 수 없음을 보여준다.