[논문 리뷰] On nonpermutational transformation semigroups with an application to syntactic complexity

Szabolcs Iván, Judit Nagy-György|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 28.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전순열적이지 않은 변환으로만 이루어진 전체 전단사 변환 반군 $ T_n $ 의 부분반군의 크기에 대해 $ n((n-1)! - (n-3)!) $ 의 상계를 확립한다. 응용으로서, 이와 같은 상계를 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도에 대한 상한으로 도출함으로써, 점심 깊이 계층 내에서 이 언어 클래스의 복잡도를 이해하는 데 있어 중요한 단계를 밟는다.

ABSTRACT

We give an upper bound of $n((n-1)!-(n-3)!)$ for the possible largest size of a subsemigroup of the full transformational semigroup over $n$ elements consisting only of nonpermutational transformations. As an application we gain the same upper bound for the syntactic complexity of (generalized) definite languages as well.

연구 동기 및 목표

• 전체 전단사 변환 반군 $ T_n $ 의 부분반군 중 전순열적이지 않은 변환으로만 구성된 것들의 크기에 대한 상계를 결정하는 것.
• 이 상계를 일반화된 확정 언어, 즉 스타-자유 언어의 하위류에 적용하여 문법 복잡도를 분석하는 것.
• 최소 자동기의 구조에 기반한 일반화된 확정 언어의 금지 패턴 특성화를 제공하는 것.
• 주어진 자동기가 일반화된 확정 언어를 인식하는지 여부를 판단하는 문제의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 다른 자동기 구조를 지닌다 하더라도 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도가 확정 언어와 동일한지 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ Xf = X $ 라면 $ |X| = 1 $ 이어야 하는 변환을 비전단사 변환으로 정의하고, $ T_n $ 내에서의 대수적 구조를 분석한다.
• 올리기 함수( elevation functions )의 개념을 도입하고, 이를 통해 주어진 최소 자동기 $ \mathbb{A} $ 로부터 문법적 구조를 유지하는 축소된 자동기 $ \mathbb{B} $ 를 구성한다.
• 이 구성은 서로소 상태 집합에서의 함수를 원천 튜플링을 통해 새로운 변환 반군 $ \mathcal{T}' $ 를 정의함으로써 이루어지며, 이때 $ |\mathcal{T}'| \geq |\mathcal{T}| $ 가 보장된다.
• 원래 자동기 $ \mathbb{A} $ 가 특정한 금지 패턴 $ P_g $ 를 피한다면, 구성된 자동기 $ \mathbb{B} $ 는 $ P_d $ 를 피함을 증명함으로써, 이 자동기가 확정 언어를 인식함을 시사한다.
• 로그스페이스 감소를 통해 일반화된 확정 언어의 결정 문제는 $ \mathbf{NL} $-완전함을 증명하고, RAM 기계에서 $ \mathcal{O}(n^2) $ 시간 내에 작동하는 결정적 알고리즘을 제시한다.
• 핵심 기술적 단계는 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도가 확정 언어와 동일한 표현식으로 상계됨을 보여주는 것으로, 그 최소 자동기의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전혀 비전단사 변환으로만 이루어진 $ T_n $ 의 부분반군의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ2 일반화된 확정 언어의 최소 자동기의 구조적 성질을 이용하여 그 문법 복잡도를 상계로 제시할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 확정 언어를 특성화하는 최소 자동기의 전이 구조에 존재하는 금지 패턴이 존재하는가?
• RQ4 주어진 자동기가 일반화된 확정 언어를 인식하는지 여부를 판단하는 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 다른 자동기 구조를 지닌다 하더라도 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도가 확정 언어와 동일한가?

주요 결과

• 논문은 전순열적이지 않은 변환으로만 이루어진 $ T_n $ 의 부분반군에 대해 $ n((n-1)! - (n-3)!) $ 의 상계를 확립한다.
• 이 상계는 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도에 대해서도 상한으로서 유효하며, 기존에 알려진 확정 언어의 상한과 일치함을 보였다.
• 저자들은 최소 자동기의 전이 구조에 기반한 일반화된 확정 언어의 금지 패턴 특성화를 제공하며, 특히 패턴 $ P_g $ 를 피하는 것으로 특성화한다.
• 주어진 자동기가 일반화된 확정 언어를 인식하는지 여부를 판단하는 문제의 결정 복잡도가 로그스페이스 감소 하에 $ \mathbf{NL} $-완전함을 증명하였다.
• RAM 기계에서 $ \mathcal{O}(n^2) $ 시간 내에 작동하는 결정적 알고리즘을 제시하여 일반화된 확정 언어 클래스에 속하는지 확인하는 데 사용할 수 있다.
• 비록 자동기 구조가 다를 수 있으나, 일반화된 확정 언어의 문법 복잡도가 확정 언어와 정확히 일치함을 보였다.