[논문 리뷰] On normal subgroups in the fundamental groups of complex surfaces

Michael Kapovich|ArXiv.org|1998. 08. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 비틀림이 있는 컴acts aspherical 복소 표면의 기본군이 초등적 표면군과 유한적으로 표현 가능한 정규부군을 갖는 짧은 완전열에 들어갈 수 있다면, 그 표면은 초등적 표면 위로의 비특이 헬름홀로픽 피브레이션을 가진다는 것을 증명한다. 핵심 기여는 복소하이퍼볼릭 표면가 이러한 피브레이션을 가질 수 없다는 것을 증명한 것으로, 이는 $PU(2,1)$ 내에서 비공리성인 균일 래티스의 첫 번째 예를 제공하며, 오랫동안 남아있던 고르모-하이퍼볼릭 군이 이러한 완전열에 들어갈 수 있는지에 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We show that for each aspherical compact complex surface $X$ whose fundamental group $π$ fits into a short exact sequence $$ 1 o K o π o π_1(S) o 1 $$ where $S$ is a compact hyperbolic Riemann surface and the group $K$ is finitely-presentable, there is a complex structure on $S$ and a nonsingular holomorphic fibration $f: X o S$ which induces the above short exact sequence. In particular, the fundamental groups of compact complex-hyperbolic surfaces cannot fit into the above short exact sequence. As an application we give the first example of a non-coherent uniform lattice in $PU(2,1)$.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 비틀림이 있는 컴acts aspherical 복소 표면의 기본군이 특정 짧은 완전열의 구조를 갖는 데서의 제약 조건을 설정하는 것.
• 복소하이퍼볼릭 2차원 공간의 등급군인 $PU(2,1)$ 내에서 비공리성인 균일 래티스의 첫 번째 예를 구성하는 것.
• 질문 1에 대한 답—고르모-하이퍼볼릭 군 $\pi$가 두 개의 닫힌 초등적 표면군을 갖는 짧은 완전열 $1 \to K \to \pi \to Q \to 1$에 들어갈 수 있는가—가 $PU(2,1)$ 내의 균일 래티스의 범주에서 부정적인 것으로 나타나는 것.
• 주어진 군론적 조건 하에서 복소하이퍼볼릭 표면의 기본군이 초등 리만 표면 위로의 헬름홀로픽 피브레이션에서 유래될 수 없다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 특이 피브러의 국소 및 전역 모노드로미 행동을 분석하기 위해 밀너 피브레이션과 헬름홀로픽 사상의 성질을 사용하는 것.
• $L^2$-베티 수를 적용하고 $\beta_1^{(2)}(Q)$가 0이 아니라는 가정을 통해 $Q$가 초등적 표면군임을 보장하는 것.
• 문제를 주어진 기본군의 짧은 완전열을 유도하는 비특이 헬름홀로픽 피브레이션 $f: X \to S$의 존재로 환원하는 것.
• 코다이라의 분류 정리를 사용하여 주어진 조건 하에서 $X$가 복소대수적 표면임을 유추하는 것.
• 리브네의 표현을 통해 $PU(2,1)$ 내에서 균일 래티스 $\tilde{\rho}$를 구성하고, 정규부군 $K$를 유한생성되지만 유한표현가 불가능한 것으로 만드는 것.
• 모순에 의한 증명: $K$가 유한표현가능하다고 가정하면 헬름홀로픽 피브레이션이 존재하게 되며, 이는 복소하이퍼볼릭 표면에 대해 알려진 결과에 위배된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고르모-하이퍼볼릭 군 $\pi$가 $1 \to K \to \pi \to Q \to 1$의 짧은 완전열에 들어갈 수 있는가, 여기서 $K$와 $Q$는 모두 닫힌 초등적 표면군인가?
• RQ2 복소하이퍼볼릭 표면가 초등 리만 표면 위로의 비특이 헬름홀로픽 피브레이션을 가지는가?
• RQ3 $PU(2,1)$ 내에서 비공리성인 균일 래티스가 존재하는가?
• RQ4 복소하이퍼볼릭 표면의 기본군의 정규부군 $K$가 유한생성되지만 유한표현가능한가, 만약 몫이 초등적 표면군이라면?

주요 결과

• 기하학적 비틀림이 있는 컴acts aspherical 복소 표면의 기본군이 $1 \to K \to \pi \to \pi_1(S) \to 1$의 짧은 완전열에 들어가고, $S$가 컴팩트한 초등 리만 표면이며 $K$가 유한표현가능하다면, $X$는 $S$ 위로의 비특이 헬름홀로픽 피브레이션을 가진다.
• 복소하이퍼볼릭 표면는 이러한 피브레이션을 가지지 않으며, 따라서 그 기본군은 $K$가 유한표현가능한 조건에서 이러한 짧은 완전열에 들어갈 수 없다.
• 리브네의 표현을 사용하여 정규부군이 유한생성되지만 유한표현가 불가능한 부분군을 갖는 래티스를 구성함으로써, $PU(2,1)$ 내에서 비공리성인 균일 래티스의 첫 번째 예를 도출한다.
• 구성된 래티스의 부분군 $K$는 모순에 의한 증명을 통해 유한표현가능하지 않음을 보였다: 유한표현가능하다고 가정하면 헬름홀로픽 피브레이션이 존재하게 되며, 이는 복소하이퍼볼릭 표면에 대해 불가능하다.
• 이 결과는 $Q$가 토크션 자유이며 $\beta_1^{(2)}(Q)$가 0이 아니라는 가정 하에서 성립하며, $X$는 카일러다.
• 이 증명은 $K$가 유한표현가능하지 않아도 $FP_2$ 성질을 갖는 경우로 확장된다.