[논문 리뷰] On notions of representability for cylindric-polyadic algebras, and a solution to the finitizability problem for quantifier logics with equality

Tarek Sayed Ahmed|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 전이 지도의 rich subsemigroup T를 바탕으로 하여 등급을 부여한 원통형-다항 대수의 클래스 CPEAT를 도입한다. 이 클래스에서의 표현 가능성은 보호된 의미론을 통한 구체적인 집합 대수 표현과 동치임을 보여준다. 주요 기여는 등급을 부여한 일阶논리의 유한화 문제를 해결하여, T가 유한히 표현 가능할 경우 유한 공리 체계와 정준 성질을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

We consider countable so-called rich subsemigroups of ( ! !,◦); each such semigroup T gives a variety CPEAT that is axiomatizable by a finite schema of equations taken in a countable subsignature of that of !-dimensional cylindric- polyadic algebras with equality where substitutions are restricted to maps in T. It is shown that for any such T, A ∈ CPEAT ⇐⇒ A is representable as a concrete set algebra of !-ary relations. The operations in the signature are set-theoretically interpreted like in polyadic equality set algebras, but such operations are relativized to a union of cartesian spaces that are not necessarily disjoint. This is a form of guarding semantics. We show that CPEAT is canonical and atom-canonical. Imposing an extra condition on T, we prove that atomic algebras in CPEAT are completely representable and that CPEAT has the super amalgamation property. If T is rich and finitely represented, it is shown that CPEAT is term definitionally equivalent to a finitely axiomatizable Sahlqvist variety. Such semigroups exist. This can be regarded as a solution to the central finitizability problem in algebraic logic for first order logic with equality if we do not insist on full fledged commutativity of quantifiers. The finite dimensional case is approached from the view point of guarded and clique guarded (relativized) semantics of fragments of first order logic using finitely many variables. Both positive and negative results are presented.

연구 동기 및 목표

• 일阶논리의 등급을 부여한 경우에 대한 중심적인 유한화 문제를 해결하기 위해.
• 완전한 양자화자 교환을 요구하지 않고도 일阶논리를 포괄하는, 등급을 부여한 원통형-다항 대수의 유한 공리 체계를 갖춘 다양체를 개발하기 위해.
• 보호된 의미론을 사용하여 n-항 관계의 구체적인 집합 대수로 이 다양체에 속하는 대수의 표현 가능성을 확립하기 위해.
• rich semigroup T 위에서 정의된 CPEAT 다양체에 대해 정준성 및 원자 정준 성질을 증명하기 위해.
• CPEAT 내 원자 대수들이 완전히 표현 가능하고, T에 추가 조건이 있을 경우 다양체가 초합성 성질을 갖는다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 가산 집합 위의 모든 사상의 반합성군에서의 가산 rich subsemigroup T를 사용하여 구성한다.
• T로부터 파생된 가산 기호 체계에서 유한한 식의 체계로 공리화된 다양체로서, n차원 원통형-다항 대수의 등급을 부여한 체계 내에서 CPEAT를 정의한다.
• CPEAT의 연산은 다항 등급 집합 대수와 유사하게 집합론적으로 해석되지만, 반드시 서로소가 아니어야 하는 카르테시안 공간의 합집합에 국한되어 보호된 의미론을 구현한다.
• semigroup T의 성질과 그로 인해 유도되는 표현 정리들을 활용하여 대수적 구조가 정준적이고 원자 정준적임을 보여준다.
• T가 유한히 표현 가능할 경우, CPEAT는 유한 공리 체계를 갖춘 Sahlqvist 다양체와 용어적으로 동치임을 보여, 유한 공리 체계를 가능하게 한다.
• 이 접근법은 유한한 변수를 사용하는 일阶논리의 조각에 대해 보호된 의미론과 클리프-보호된 의미론을 일반화하여, 모델 이론적 및 대수논리적 프레임워크 간의 다리를 놓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 양자화자 교환을 요구하지 않고도 일阶논리의 등급을 부여한 경우의 유한화 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 등급을 부여한 원통형-다항 대수의 다양체에 대해, 구체적인 집합 표현을 통해 일阶논리를 포괄하는 유한 공리 체계가 존재하는가?
• RQ3 semigroup T에 대해 어떤 조건이 CPEAT 다양체의 정준성 및 원자 정준성을 보장하는가?
• RQ4 CPEAT 다양체가 유한 공리 체계를 갖춘 Sahlqvist 다양체와 용어적으로 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 원자 대수들이 CPEAT에서 완전히 표현 가능하고, CPEAT가 초합성 성질을 갖는 데 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 rich subsemigroup T에 대해, 대수 A가 CPEAT에 속하는 것은 보호된 의미론 하에서 n-항 관계의 구체적인 집합 대수로 표현 가능한 것과 동치이다.
• 다양체 CPEAT는 정준적이고 원자 정준적임을 보여, 완전성 및 보간 결과에 필수적인 강력한 대수적 성질을 확보한다.
• T가 추가 조건을 만족할 경우, CPEAT 내 원자 대수는 완전히 표현 가능하며, 이는 모든 원자가 구체적인 관계에 대응함을 의미한다.
• T가 rich이고 추가 조건을 만족할 경우, CPEAT는 초합성 성질을 갖는다. 이는 강력한 모델 이론적 행동을 나타낸다.
• T가 rich이고 유한히 표현 가능할 경우, CPEAT는 유한 공리 체계를 갖춘 Sahlqvist 다양체와 용어적으로 동치이며, 이는 이 맥락에서의 유한화 문제를 해결한다.
• 이 틀은 일阶논리의 등급을 부여한 경우에 대한 유한화 문제에 대해 긍정적인 해결책을 제공하며, 완전한 양자화자 교환을 요구하지 않는다.