[논문 리뷰] On OBDDs for CNFs of bounded treewidth

Igor Razgon|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 18.

Formal Methods in Verification참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 순서화된 이진결정다이어그램(OBDDs)가 제약만족문제(CNFs)의 제약 그래프의 유사도가 유계된 경우, SDDs나 DNNFs와 같은 관련 지식 컴파일 포맷에서 관찰되는 고정 매개변수 다항시간 크기 bound $ f(k)n^c $ 를 달성할 수 없다는 것을 입증한다. 이는 제약 그래프의 유사도가 $ k $ 인 CNFs에 대해 OBDD 크기의 하한을 $ \Omega(n^{k/4}) $ 로 보여주며, SDDs와의 매개변수 기반 분리와 함께 OBDD 크기가 유사도가 유계임에도 불구하고 초다항적으로 증가할 수 있음을 보여준다. 반면 SDDs의 크기는 여전히 다항식 범위에 머무른다.

ABSTRACT

In this paper we show that a CNF cannot be compiled into an Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) of fixed-parameter size parameterized by the primal graph treewidth of the CNF. Thus we provide a parameterized separation between OBDDs and Sentential Decision Diagrams (SDDs) for which such fixed-parameter compilation is possible. In fact, we demonstrate that the proposed lower bound also yields a classical (non-parameterized) separation of OBDDs and SDDs. We also show that the best existing parameterized upper bound for OBDDs in fact holds for incidence graph treewidth parameterization.

연구 동기 및 목표

• 제약 그래프의 유사도가 유계된 CNFs에 대한 OBDD가 SDDs와 DNNFs와 유사하게 고정 매개변수 다항시간 크기 bound를 갖는지 조사하기 위해.
• 매개변수 $ k $ 가 유사도일 때 OBDD 크기가 $ f(k)n^c $ 형태로 유 bounds될 수 있는지 여부를 해결하기 위해.
• OBDD와 SDD 간의 매개변수 기반 및 고전적 복잡도 설정에서의 분리를 확립하기 위해.
• 제약 그래프의 유사도가 아닌 인cidenece 그래프의 유사도를 사용할 경우 OBDD의 $ O(n^k) $ 상한 bound가 강화될 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 그래프의 매칭 폭의 개념을 도입하고, 이가 변수 접두어 할당에서의 서로 다른 함수의 수를 하한으로 제시하며, 이는 결국 OBDD 크기를 하한으로 제시함을 증명한다.
• 제약 그래프의 유사도가 최대 $ k $ 인 무한한 CNF 가족을 구성하고, 이들의 매칭 폭이 $ \Omega(\log n \cdot k) $ 라는 것을 보여주며, 이는 $ \Omega(n^{k/4}) $ 의 OBDD 크기 하한을 이끌어낸다.
• 만약 인cidenece 그래프의 경로폭이 $ p $ 라면, OBDD 크기는 $ O(2^p n) $ 이며, 이는 경로 분해와 변수 접두어 기반 함수 수 계산을 활용하여 증명한다.
• 유사도와 경로폭 사이의 알려진 관계 $ p = O(k \log n) $ 를 이용하여, 인cidenece 그래프의 경로폭에서 $ O(n^k) $ 상한을 유도한다.
• 결합 폭 매개변수를 분석하여, 이가 컷너스 또는 경로폭보다 훨씬 작을 수 있음을 보이고, 이는 $ O(2^w n) $ 의 OBDD 크기 bound를 유도함을 보여준다.
• $ k = \log n $ 인 CNF의 클래스를 구성하여, OBDD 크기가 $ n^{\Omega(\log n)} $ 가 되고, SDD 크기는 여전히 $ O(n^3) $ 이라는 점을 보여, 고전적 분리를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 그래프의 유사도가 유계된 CNFs에 대한 OBDD가 $ f(k)n^c $ 형태의 고정 매개변수 다항시간 크기 bound를 달성할 수 있는가?
• RQ2 OBDD와 SDD 간의 지식 컴파일 복잡도 측면에서 매개변수 기반 분리가 존재하는가?
• RQ3 OBDD의 $ O(n^k) $ 상한 bound가 제약 그래프의 유사도가 아니라 인cidenece 그래프의 유사도일 경우에도 성립하는가?
• RQ4 제약 그래프의 유사도가 유계일지라도 OBDD 크기가 초다항적으로 증가할 수 있는가?
• RQ5 인cidenece 그래프의 유사도와 결합 폭 매개변수 간의 관계가 OBDD 크기에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 이 논문은 제약 그래프의 유사도가 최대 $ k $ 인 CNFs에 대해 OBDD 크기의 하한을 $ \Omega(n^{k/4}) $ 로 확립하며, 이는 고정 매개변수 다항시간 bound $ f(k)n^c $ 가 존재하지 않음을 보여준다.
• 이 하한은 OBDD 크기가 지수부에서 $ k $ 에 대해 선형 의존성을 가지지 못함을 의미하며, 큰 상수 $ C $ 에 대해서도 $ n^{k/C} $ 형태의 bound 조차 배제한다.
• 무한한 CNF 가족을 구성하여 OBDD 크기가 $ n^{\Omega(\log n)} $ 가 되고, SDD 크기는 여전히 $ O(n^3) $ 이라는 점을 보여, OBDD와 SDD 간의 고전적 분리를 입증한다.
• OBDD의 $ O(n^k) $ 상한 bound는 제약 그래프의 유사도가 아니라 인cidenece 그래프의 유사도일 경우에도 성립함을 보여 강화된다.
• 논문은 만약 인cidenece 그래프의 경로폭이 $ p $ 라면 OBDD 크기는 $ O(2^p n) $ 이며, $ p = O(k \log n) $ 이므로 이는 $ O(n^k) $ bound 를 복원함을 증명한다.
• 결합 폭 매개변수는 OBDD 크기의 유효한 매개변수임을 보여주며, $ O(2^w n) $ 의 크기 bound 를 유도하며, 이는 컷너스나 경로폭보다 훨씬 작을 수 있음을 보여, 향후 컴파일 성능 향상 가능성을 시사한다.